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Popolare Trigonometria >

2cos(x)=tan(x)+sec(x)

Soluzione

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

Soluzione

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Gradi

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

Sottrarre

tan (x) + sec (x)

da entrambi i lati

2 cos (x) - tan (x) - sec (x) = 0

Esprimere con sen e cos

2 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} = 0

Semplifica

2 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{2 cos ^{2} ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

2 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )}

Combinare le frazioni

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

= 2 cos (x) + \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Converti l'elemento in frazione:

2 cos (x) = \frac{2 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

2 cos (x) cos (x) - sin (x) - 1 = 2 cos^{2} (x) - sin (x) - 1

2 cos (x) cos (x) - sin (x) - 1

2 cos (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x)

2 cos (x) cos (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 cos^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) - sin (x) - 1

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

\frac{2 cos ^{2} ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos^{2} (x) - sin (x) - 1 = 0

Aggiungi

sin (x)

ad entrambi i lati

2 cos^{2} (x) - 1 = sin (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(2 cos^{2} (x) - 1)^{2} = sin^{2} (x)

Sottrarre

sin^{2} (x)

da entrambi i lati

(2 cos^{2} (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) = 0

Fattorizza

(2 cos^{2} (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) : (2 cos^{2} (x) - 1 + sin (x)) (2 cos^{2} (x) - 1 - sin (x))

(2 cos^{2} (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 cos^{2} (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) = ((2 cos^{2} (x) - 1) + sin (x)) ((2 cos^{2} (x) - 1) - sin (x))

= ((2 cos^{2} (x) - 1) + sin (x)) ((2 cos^{2} (x) - 1) - sin (x))

Affinare

= (2 cos^{2} (x) + sin (x) - 1) (2 cos^{2} (x) - sin (x) - 1)

(2 cos^{2} (x) - 1 + sin (x)) (2 cos^{2} (x) - 1 - sin (x)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

2 cos^{2} (x) - 1 + sin (x) = 0 or 2 cos^{2} (x) - 1 - sin (x) = 0

2 cos^{2} (x) - 1 + sin (x) = 0 : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

2 cos^{2} (x) - 1 + sin (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 + sin (x) + 2 cos^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 + sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x))

Semplificare

- 1 + sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) : sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

- 1 + sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x))

Espandi

2 (1 - sin^{2} (x)) : 2 - 2 sin^{2} (x)

2 (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x)

Semplifica

- 1 + sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x) : sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

- 1 + sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 1 + 2

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 2 = 1

= sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

= sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

= sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

1 + sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

1 + sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

1 + u - 2 u^{2} = 0

1 + u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

1 + u - 2 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 2, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 3

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 2) \cdot 1

Applicare la regola

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Aggiungi i numeri:

1 + 8 = 9

= 9

Fattorizzare il numero:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3}{- 2 \cdot 2}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3}{- 2 \cdot 2}

Sottrai i numeri:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluzioni generali per

sin (x) = 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

2 cos^{2} (x) - 1 - sin (x) = 0 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 cos^{2} (x) - 1 - sin (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 - sin (x) + 2 cos^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x))

Semplificare

- 1 - sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) : - 2 sin^{2} (x) - sin (x) + 1

- 1 - sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x))

Espandi

2 (1 - sin^{2} (x)) : 2 - 2 sin^{2} (x)

2 (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 - sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x)

Semplifica

- 1 - sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x) : - 2 sin^{2} (x) - sin (x) + 1

- 1 - sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 1 + 2

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 2 = 1

= - 2 sin^{2} (x) - sin (x) + 1

= - 2 sin^{2} (x) - sin (x) + 1

= - 2 sin^{2} (x) - sin (x) + 1

1 - sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

1 - sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

1 - u - 2 u^{2} = 0

1 - u - 2 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2}

1 - u - 2 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 2 u^{2} - u + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 2, b = - 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 1 + 8

Aggiungi i numeri:

1 + 8 = 9

= 9

Fattorizzare il numero:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )} : - 1

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 \cdot 2}

Aggiungi i numeri:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{- 4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 \cdot 2}

Sottrai i numeri:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{1}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - 1, u = \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluzioni generali per

sin (x) = - 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

Falso

\frac{7 π}{6} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

Per

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserisci la

x = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

2 cos (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) = tan (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) + sec (\frac{7 π}{6} + 2 π 1)

Affinare

- 1.73205 \dots = - 0.57735 \dots

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{11 π}{6} + 2 πn :

Falso

\frac{11 π}{6} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

Per

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserisci la

x = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

2 cos (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) = tan (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) + sec (\frac{11 π}{6} + 2 π 1)

Affinare

1.73205 \dots = 0.57735 \dots

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Per

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserisci la

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

2 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) = tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) + sec (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Affinare

0 = \infty

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Per

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserisci la

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

2 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + sec (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

“ N o n d e f ini t o “

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{π}{6} + 2 πn :

Vero

\frac{π}{6} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{6} + 2 π 1

Per

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserisci la

x = \frac{π}{6} + 2 π 1

2 cos (\frac{π}{6} + 2 π 1) = tan (\frac{π}{6} + 2 π 1) + sec (\frac{π}{6} + 2 π 1)

Affinare

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

\frac{5 π}{6} + 2 πn :

Vero

\frac{5 π}{6} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{5 π}{6} + 2 π 1

Per

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserisci la

x = \frac{5 π}{6} + 2 π 1

2 cos (\frac{5 π}{6} + 2 π 1) = tan (\frac{5 π}{6} + 2 π 1) + sec (\frac{5 π}{6} + 2 π 1)

Affinare

- 1.73205 \dots = - 1.73205 \dots

\Rightarrow Vero

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

sin^2(x)cos(x)= 2/(3pi)

sin^{2} (x) cos (x) = \frac{2}{3 π}

tan(φ)=-1/(sqrt(6))

tan (φ) = - \frac{1}{6}

sin(θ)= 4/5 cos(θ)

sin (θ) = \frac{4}{5} cos (θ)

19= 1/2*7.9*6.2sin(x)

19 = \frac{1}{2} \cdot 7.9 \cdot 6.2 sin (x)

2tan(60-x)=tan(x)

2 tan (60 - x) = tan (x)