解答
cos3(x)=4(3cos(x)+cos(3x))1
解答
x=0.88929…+2πn,x=2π−0.88929…+2πn,x=2.25229…+2πn,x=−2.25229…+2πn
+1
度数
x=50.95278…∘+360∘n,x=309.04721…∘+360∘n,x=129.04721…∘+360∘n,x=−129.04721…∘+360∘n求解步骤
cos3(x)=4(3cos(x)+cos(3x))1
两边减去 4(3cos(x)+cos(3x))1cos3(x)−4(3cos(x)+cos(3x))1=0
化简 cos3(x)−4(3cos(x)+cos(3x))1:4(3cos(x)+cos(3x))4cos3(x)(3cos(x)+cos(3x))−1
cos3(x)−4(3cos(x)+cos(3x))1
将项转换为分式: cos3(x)=4(3cos(x)+cos(3x))cos3(x)4(3cos(x)+cos(3x))=4(3cos(x)+cos(3x))cos3(x)⋅4(3cos(x)+cos(3x))−4(3cos(x)+cos(3x))1
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=4(3cos(x)+cos(3x))cos3(x)⋅4(3cos(x)+cos(3x))−1
4(3cos(x)+cos(3x))4cos3(x)(3cos(x)+cos(3x))−1=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=04cos3(x)(3cos(x)+cos(3x))−1=0
使用三角恒等式改写
−1+(cos(3x)+3cos(x))⋅4cos3(x)
cos(3x)=4cos3(x)−3cos(x)
cos(3x)
使用三角恒等式改写
cos(3x)
改写为=cos(2x+x)
使用角和恒等式: cos(s+t)=cos(s)cos(t)−sin(s)sin(t)=cos(2x)cos(x)−sin(2x)sin(x)
使用倍角公式: sin(2x)=2sin(x)cos(x)=cos(2x)cos(x)−2sin(x)cos(x)sin(x)
化简 cos(2x)cos(x)−2sin(x)cos(x)sin(x):cos(x)cos(2x)−2sin2(x)cos(x)
cos(2x)cos(x)−2sin(x)cos(x)sin(x)
2sin(x)cos(x)sin(x)=2sin2(x)cos(x)
2sin(x)cos(x)sin(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+csin(x)sin(x)=sin1+1(x)=2cos(x)sin1+1(x)
数字相加:1+1=2=2cos(x)sin2(x)
=cos(x)cos(2x)−2sin2(x)cos(x)
=cos(x)cos(2x)−2sin2(x)cos(x)
=cos(x)cos(2x)−2sin2(x)cos(x)
使用倍角公式: cos(2x)=2cos2(x)−1=(2cos2(x)−1)cos(x)−2sin2(x)cos(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=(2cos2(x)−1)cos(x)−2(1−cos2(x))cos(x)
乘开 (2cos2(x)−1)cos(x)−2(1−cos2(x))cos(x):4cos3(x)−3cos(x)
(2cos2(x)−1)cos(x)−2(1−cos2(x))cos(x)
=cos(x)(2cos2(x)−1)−2cos(x)(1−cos2(x))
乘开 cos(x)(2cos2(x)−1):2cos3(x)−cos(x)
cos(x)(2cos2(x)−1)
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=cos(x),b=2cos2(x),c=1=cos(x)2cos2(x)−cos(x)1
=2cos2(x)cos(x)−1cos(x)
化简 2cos2(x)cos(x)−1⋅cos(x):2cos3(x)−cos(x)
2cos2(x)cos(x)−1cos(x)
2cos2(x)cos(x)=2cos3(x)
2cos2(x)cos(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos2(x)cos(x)=cos2+1(x)=2cos2+1(x)
数字相加:2+1=3=2cos3(x)
1⋅cos(x)=cos(x)
1cos(x)
乘以:1⋅cos(x)=cos(x)=cos(x)
=2cos3(x)−cos(x)
=2cos3(x)−cos(x)
=2cos3(x)−cos(x)−2(1−cos2(x))cos(x)
乘开 −2cos(x)(1−cos2(x)):−2cos(x)+2cos3(x)
−2cos(x)(1−cos2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=−2cos(x),b=1,c=cos2(x)=−2cos(x)1−(−2cos(x))cos2(x)
使用加减运算法则−(−a)=a=−2⋅1cos(x)+2cos2(x)cos(x)
化简 −2⋅1⋅cos(x)+2cos2(x)cos(x):−2cos(x)+2cos3(x)
−2⋅1cos(x)+2cos2(x)cos(x)
2⋅1⋅cos(x)=2cos(x)
2⋅1cos(x)
数字相乘:2⋅1=2=2cos(x)
2cos2(x)cos(x)=2cos3(x)
2cos2(x)cos(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos2(x)cos(x)=cos2+1(x)=2cos2+1(x)
数字相加:2+1=3=2cos3(x)
=−2cos(x)+2cos3(x)
=−2cos(x)+2cos3(x)
=2cos3(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos3(x)
化简 2cos3(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos3(x):4cos3(x)−3cos(x)
2cos3(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos3(x)
对同类项分组=2cos3(x)+2cos3(x)−cos(x)−2cos(x)
同类项相加:2cos3(x)+2cos3(x)=4cos3(x)=4cos3(x)−cos(x)−2cos(x)
同类项相加:−cos(x)−2cos(x)=−3cos(x)=4cos3(x)−3cos(x)
=4cos3(x)−3cos(x)
=4cos3(x)−3cos(x)
=−1+4cos3(x)(4cos3(x)−3cos(x)+3cos(x))
4cos3(x)(4cos3(x)−3cos(x)+3cos(x))=16cos6(x)
4cos3(x)(4cos3(x)−3cos(x)+3cos(x))
同类项相加:−3cos(x)+3cos(x)=0=4⋅4cos3(x)cos3(x)
数字相乘:4⋅4=16=16cos3(x)cos3(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos3(x)cos3(x)=cos3+3(x)=16cos3+3(x)
数字相加:3+3=6=16cos6(x)
=−1+16cos6(x)
−1+16cos6(x)=0
用替代法求解
−1+16cos6(x)=0
令:cos(x)=w−1+16w6=0
−1+16w6=0:w=2232,w=−2232,w=2232⋅1.09112…3+0.54556…i,w=−2232⋅1.09112…3−0.54556…i,w=−2232⋅1.09112…3+0.54556…i,w=2232⋅1.09112…3−0.54556…i
−1+16w6=0
将 1到右边
−1+16w6=0
两边加上 1−1+16w6+1=0+1
化简16w6=1
16w6=1
两边除以 16
16w6=1
两边除以 161616w6=161
化简w6=161
w6=161
用u=w2 和 u3=w6改写方程式u3=161
解 u3=161:u=3161,u=31612−1+3i,u=31612−1−3i
u3=161
对于 g3(x)=f(a) 解为 g(x)=3f(a),3f(a)2−1−3i,3f(a)2−1+3i
u=3161,u=31612−1+3i,u=31612−1−3i
u=3161,u=31612−1+3i,u=31612−1−3i
代回 u=w2,求解 w
解 w2=3161:w=2232,w=−2232
w2=3161
化简 3161:4232
3161
使用根式运算法则: nba=nbna, 假定 a≥0,b≥0=31631
316=232
316
16质因数分解:24
16
16除以 216=8⋅2=2⋅8
8除以 28=4⋅2=2⋅2⋅4
4除以 24=2⋅2=2⋅2⋅2⋅2
2 是质数,因此无法进一步因数分解=2⋅2⋅2⋅2
=24
=324
使用指数法则: ab+c=ab⋅ac=323⋅2
使用根式运算法则: nab=nanb=32323
使用根式运算法则: nan=a323=2=232
=23231
使用法则 n1=131=1=2321
2321有理化:4232
2321
乘以共轭根式 232232=232⋅2321⋅232
1⋅232=232
232⋅232=4
232⋅232
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c2⋅23232=2⋅232⋅231=21+32+31=21+32+31
化简 1+32+31:2
1+32+31
将项转换为分式: 1=11=11+32+31
1,3,3的最小公倍数:3
1,3,3
最小公倍数 (LCM)
1质因数分解
3质因数分解:3
3
3 是质数,因此无法因数分解=3
3质因数分解:3
3
3 是质数,因此无法因数分解=3
计算出由至少在以下一个数字中出现的因数组成的数字:
1,3,3
=3数字相乘:3=3=3
根据最小公倍数调整分式
将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值 3
对于 11:将分母和分子乘以 311=1⋅31⋅3=33
=33+32+31
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=33+2+1
数字相加:3+2+1=6=36
数字相除:36=2=2
=22
22=4=4
=4232
=4232
w2=4232
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
w=4232,w=−4232
4232=2232
4232
使用根式运算法则: nba=nbna, 假定 a≥0,b≥0=4232
4=2
4
因式分解数字: 4=22=22
使用根式运算法则: nan=a22=2=2
=2232
−4232=−2232
−4232
化简 4232:2232
4232
使用根式运算法则: nba=nbna, 假定 a≥0,b≥0=4232
4=2
4
因式分解数字: 4=22=22
使用根式运算法则: nan=a22=2=2
=2232
=−2232
w=2232,w=−2232
解 w2=31612−1+3i:w=2232⋅1.09112…3+0.54556…i,w=−2232⋅1.09112…3−0.54556…i
w2=31612−1+3i
替代 w=u+vi(u+vi)2=31612−1+3i
乘开
(u+vi)2=31612−1+3i
展开 (u+vi)2:(u2−v2)+2iuv
(u+vi)2
=(u+iv)2
使用完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2a=u,b=vi
=u2+2uvi+(vi)2
(vi)2=−v2
(vi)2
使用指数法则: (a⋅b)n=anbn=i2v2
i2=−1
i2
使用虚数运算法则: i2=−1=−1
=(−1)v2
整理后得=−v2
=u2+2iuv−v2
将 u2+2iuv−v2 改写成标准复数形式:(u2−v2)+2uvi
u2+2iuv−v2
将复数的实部和虚部分组=(u2−v2)+2uvi
=(u2−v2)+2uvi
展开 31612−1+3i:−8232+i82323
31612−1+3i
3161=2321
3161
使用根式运算法则: nba=nbna, 假定 a≥0,b≥0=31631
316=232
316
16质因数分解:24
16
16除以 216=8⋅2=2⋅8
8除以 28=4⋅2=2⋅2⋅4
4除以 24=2⋅2=2⋅2⋅2⋅2
2 是质数,因此无法进一步因数分解=2⋅2⋅2⋅2
=24
=324
使用指数法则: ab+c=ab⋅ac=323⋅2
使用根式运算法则: nab=nanb=32323
使用根式运算法则: nan=a323=2=232
=23231
使用法则 n1=131=1=2321
=2321⋅2−1+3i
分式相乘: ba⋅dc=b⋅da⋅c=232⋅21⋅(−1+3i)
1⋅(−1+3i)=−1+3i
1⋅(−1+3i)
乘以:1⋅(−1+3i)=(−1+3i)=(−1+3i)
去除括号: (−a)=−a=−1+3i
=2⋅232−1+3i
数字相乘:2⋅2=4=432−1+3i
使用分式法则: ca±b=ca±cb432−1+3i=−4321+4323i=−4321+4323i
将 −4321+4323i 改写成标准复数形式:−8232+83⋅232i
−4321+4323i
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=432−1+3i
使用分式法则: ca±b=ca±cb432−1+3i=−4321+4323i=−4321+4323i
4323=83⋅232
4323
乘以共轭根式 232232=432⋅2323⋅232
432⋅232=8
432⋅232
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c23232=232⋅231=232+31=4⋅232+31
232+31=2
232+31
合并分式 32+31:1
使用法则 ca±cb=ca±b=32+1
数字相加:2+1=3=33
使用法则 aa=1=1
=21
使用法则 a1=a=2
=4⋅2
数字相乘:4⋅2=8=8
=83⋅232
=−4321+83⋅232i
−4321=−8232
−4321
乘以共轭根式 232232=−432⋅2321⋅232
1⋅232=232
432⋅232=8
432⋅232
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c23232=232⋅231=232+31=4⋅232+31
232+31=2
232+31
合并分式 32+31:1
使用法则 ca±cb=ca±b=32+1
数字相加:2+1=3=33
使用法则 aa=1=1
=21
使用法则 a1=a=2
=4⋅2
数字相乘:4⋅2=8=8
=−8232
=−8232+83⋅232i
=−8232+83⋅232i
(u2−v2)+2iuv=−8232+i82323
(u2−v2)+2iuv=−8232+i82323
复数仅在实部和虚部均相等时才相等改写为方程组:[u2−v2=−82322uv=83⋅232]
[u2−v2=−82322uv=83⋅232]:(u=2232⋅1.09112…3,u=−2232⋅1.09112…3,v=0.54556…v=−0.54556…)
[u2−v2=−82322uv=83⋅232]
对于 2uv=8232⋅3将 u移到一边:u=2310v3
2uv=82323
化简 82323:2373
82323
因式分解数字: 8=23=232323
化简 23232:2371
23232
使用指数法则: xbxa=xb−a1=23−321
3−32=37
3−32
将项转换为分式: 3=33⋅3=33⋅3−32
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=33⋅3−2
3⋅3−2=7
3⋅3−2
数字相乘:3⋅3=9=9−2
数字相减:9−2=7=7
=37
=2371
=2373
2uv=2373
两边除以 2v
2uv=2373
两边除以 2v2v2uv=2v2373
化简
2v2uv=2v2373
化简 2v2uv:u
2v2uv
约分:2=vuv
约分:v=u
化简 2v2373:2310v3
2v2373
使用分式法则: cba=b⋅ca=237⋅2v3
237⋅2=2310
237⋅2
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c237⋅2=237+1=237+1
37+1=310
37+1
将项转换为分式: 1=31⋅3=37+31⋅3
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=37+1⋅3
7+1⋅3=10
7+1⋅3
数字相乘:1⋅3=3=7+3
数字相加:7+3=10=10
=310
=2310
=2310v3
u=2310v3
u=2310v3
u=2310v3
将解 u=2310v3 代入 u2−v2=−8232
对于 u2−v2=−8232,用 2310v3 替代 u:v≈0.54556…,v≈−0.54556…
对于 u2−v2=−8232,用 2310v3 替代 u(2310v3)2−v2=−8232
解 (2310v3)2−v2=−8232:v≈0.54556…,v≈−0.54556…
(2310v3)2−v2=−8232
乘以最小公倍数
(2310v3)2−v2=−8232
化简 (2310v3)2:26⋅232v23
(2310v3)2
2310v3=2332v3
2310v3
2310=2332
2310
2310=23+31=23+31
使用指数法则: xa+b=xaxb=23⋅231
整理后得=2332
=2332v3
=(2332v3)2
使用指数法则: (ba)c=bcac=(2332v)2(3)2
使用指数法则: (a⋅b)n=anbn(2332v)2=(23)2(32)2v2=(23)2(32)2v2(3)2
(3)2:3
使用根式运算法则: a=a21=(321)2
使用指数法则: (ab)c=abc=321⋅2
21⋅2=1
21⋅2
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=21⋅2
约分:2=1
=3
=(23)2(32)2v23
(23)2:26
使用指数法则: (ab)c=abc=23⋅2
数字相乘:3⋅2=6=26
=26(32)2v23
(32)2:232
使用根式运算法则: na=an1=(231)2
使用指数法则: (ab)c=abc=231⋅2
31⋅2=32
31⋅2
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=31⋅2
数字相乘:1⋅2=2=32
=232
=26⋅232v23
26⋅232v2=26+32v2
26⋅232v2
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c26⋅232=26+32=26+32v2
=232+6v23
26+32=26⋅232
26+32
使用指数法则: xa+b=xaxb=26⋅232
=26⋅232v23
26⋅232v23−v2=−8232
找到 26+32v2,8 的最小公倍数:64⋅232v2
26+32v2,8
最小公倍数 (LCM)
64,8的最小公倍数:64
64,8
最小公倍数 (LCM)
64质因数分解:2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
64
64除以 264=32⋅2=2⋅32
32除以 232=16⋅2=2⋅2⋅16
16除以 216=8⋅2=2⋅2⋅2⋅8
8除以 28=4⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅4
4除以 24=2⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
8质因数分解:2⋅2⋅2
8
8除以 28=4⋅2=2⋅4
4除以 24=2⋅2=2⋅2⋅2
将每个因子乘以它在 64 或 8中出现的最多次数=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
数字相乘:2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=64=64
计算出由出现在 64⋅232v2 或 8中的因子组成的表达式=64⋅232v2
乘以最小公倍数=64⋅232v226⋅232v23⋅64⋅232v2−v2⋅64⋅232v2=−8232⋅64⋅232v2
化简
26⋅232v23⋅64⋅232v2−v2⋅64⋅232v2=−8232⋅64⋅232v2
化简 26⋅232v23⋅64⋅232v2:3
26⋅232v23⋅64⋅232v2
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=26⋅232v23⋅64⋅232v2
约分:232=26v23⋅64v2
约分:v2=263⋅64
数字相乘:3⋅64=192=26192
分解 192:26⋅3
因式分解 192=26⋅3
=2626⋅3
约分:26=3
化简 −v2⋅64⋅232v2:−64⋅232v4
−v2⋅64⋅232v2
使用指数法则: ab⋅ac=ab+cv2v2=v2+2=−64⋅232v2+2
数字相加:2+2=4=−64⋅232v4
化简 −8232⋅64⋅232v2:−1632v2
−8232⋅64⋅232v2
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=−8232⋅64⋅232v2
232⋅64⋅232v2=64⋅22⋅32v2
232⋅64⋅232v2
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c232⋅232=232+32=64⋅232+32v2
同类项相加:32+32=2⋅32=64⋅22⋅32v2
=−864⋅22⋅32v2
数字相除:864=8=−8⋅22⋅32v2
22⋅32=232
22⋅32
乘 2⋅32:34
2⋅32
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=32⋅2
数字相乘:2⋅2=4=34
=234
234=21+31=21+31
使用指数法则: xa+b=xaxb=21⋅231
整理后得=232
=−8⋅232v2
数字相乘:8⋅2=16=−1632v2
3−64⋅232v4=−1632v2
3−64⋅232v4=−1632v2
3−64⋅232v4=−1632v2
解 3−64⋅232v4=−1632v2:v≈0.54556…,v≈−0.54556…
3−64⋅232v4=−1632v2
将 1632v2para o lado esquerdo
3−64⋅232v4=−1632v2
两边加上 1632v23−64⋅232v4+1632v2=−1632v2+1632v2
化简3−64⋅232v4+1632v2=0
3−64⋅232v4+1632v2=0
改写成标准形式 anxn+…+a1x+a0=0−64⋅232v4+1632v2+3=0
使用牛顿-拉弗森方法找到 −101.59366…v4+20.15873…v2+3=0 的一个解:v≈0.54556…
−101.59366…v4+20.15873…v2+3=0
牛顿-拉弗森近似法定义
f(v)=−101.59366…v4+20.15873…v2+3
找到 f′(v):−406.37466…v3+40.31747…v
dvd(−101.59366…v4+20.15873…v2+3)
使用微分加减法定则: (f±g)′=f′±g′=−dvd(101.59366…v4)+dvd(20.15873…v2)+dvd(3)
dvd(101.59366…v4)=406.37466…v3
dvd(101.59366…v4)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=101.59366…dvd(v4)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=101.59366…⋅4v4−1
化简=406.37466…v3
dvd(20.15873…v2)=40.31747…v
dvd(20.15873…v2)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=20.15873…dvd(v2)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=20.15873…⋅2v2−1
化简=40.31747…v
dvd(3)=0
dvd(3)
常数微分: dxd(a)=0=0
=−406.37466…v3+40.31747…v+0
化简=−406.37466…v3+40.31747…v
令 v0=1计算 vn+1 至 Δvn+1<0.000001
v1=0.78573…:Δv1=0.21426…
f(v0)=−101.59366…⋅14+20.15873…⋅12+3=−78.43493…f′(v0)=−406.37466…⋅13+40.31747…⋅1=−366.05719…v1=0.78573…
Δv1=∣0.78573…−1∣=0.21426…Δv1=0.21426…
v2=0.64504…:Δv2=0.14068…
f(v1)=−101.59366…⋅0.78573…4+20.15873…⋅0.78573…2+3=−23.27682…f′(v1)=−406.37466…⋅0.78573…3+40.31747…⋅0.78573…=−165.44887…v2=0.64504…
Δv2=∣0.64504…−0.78573…∣=0.14068…Δv2=0.14068…
v3=0.57039…:Δv3=0.07465…
f(v2)=−101.59366…⋅0.64504…4+20.15873…⋅0.64504…2+3=−6.20040…f′(v2)=−406.37466…⋅0.64504…3+40.31747…⋅0.64504…=−83.05958…v3=0.57039…
Δv3=∣0.57039…−0.64504…∣=0.07465…Δv3=0.07465…
v4=0.54759…:Δv4=0.02280…
f(v3)=−101.59366…⋅0.57039…4+20.15873…⋅0.57039…2+3=−1.19513…f′(v3)=−406.37466…⋅0.57039…3+40.31747…⋅0.57039…=−52.41610…v4=0.54759…
Δv4=∣0.54759…−0.57039…∣=0.02280…Δv4=0.02280…
v5=0.54557…:Δv5=0.00201…
f(v4)=−101.59366…⋅0.54759…4+20.15873…⋅0.54759…2+3=−0.08990…f′(v4)=−406.37466…⋅0.54759…3+40.31747…⋅0.54759…=−44.64836…v5=0.54557…
Δv5=∣0.54557…−0.54759…∣=0.00201…Δv5=0.00201…
v6=0.54556…:Δv6=0.00001…
f(v5)=−101.59366…⋅0.54557…4+20.15873…⋅0.54557…2+3=−0.00065…f′(v5)=−406.37466…⋅0.54557…3+40.31747…⋅0.54557…=−43.99616…v6=0.54556…
Δv6=∣0.54556…−0.54557…∣=0.00001…Δv6=0.00001…
v7=0.54556…:Δv7=8.18838E−10
f(v6)=−101.59366…⋅0.54556…4+20.15873…⋅0.54556…2+3=−3.60218E−8f′(v6)=−406.37466…⋅0.54556…3+40.31747…⋅0.54556…=−43.99134…v7=0.54556…
Δv7=∣0.54556…−0.54556…∣=8.18838E−10Δv7=8.18838E−10
v≈0.54556…
使用长除法 Equation0:v−0.54556…−64⋅232v4+1632v2+3=−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…
−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…≈0
使用牛顿-拉弗森方法找到 −101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…=0 的一个解:v≈−0.54556…
−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…=0
牛顿-拉弗森近似法定义
f(v)=−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…
找到 f′(v):−304.78100…v2−110.85125…v−10.07936…
dvd(−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…)
使用微分加减法定则: (f±g)′=f′±g′=−dvd(101.59366…v3)−dvd(55.42562…v2)−dvd(10.07936…v)−dvd(5.49891…)
dvd(101.59366…v3)=304.78100…v2
dvd(101.59366…v3)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=101.59366…dvd(v3)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=101.59366…⋅3v3−1
化简=304.78100…v2
dvd(55.42562…v2)=110.85125…v
dvd(55.42562…v2)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=55.42562…dvd(v2)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=55.42562…⋅2v2−1
化简=110.85125…v
dvd(10.07936…v)=10.07936…
dvd(10.07936…v)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=10.07936…dvdv
使用常见微分定则: dvdv=1=10.07936…⋅1
化简=10.07936…
dvd(5.49891…)=0
dvd(5.49891…)
常数微分: dxd(a)=0=0
=−304.78100…v2−110.85125…v−10.07936…−0
化简=−304.78100…v2−110.85125…v−10.07936…
令 v0=−1计算 vn+1 至 Δvn+1<0.000001
v1=−0.75124…:Δv1=0.24875…
f(v0)=−101.59366…(−1)3−55.42562…(−1)2−10.07936…(−1)−5.49891…=50.74849…f′(v0)=−304.78100…(−1)2−110.85125…(−1)−10.07936…=−204.00911…v1=−0.75124…
Δv1=∣−0.75124…−(−1)∣=0.24875…Δv1=0.24875…
v2=−0.61091…:Δv2=0.14032…
f(v1)=−101.59366…(−0.75124…)3−55.42562…(−0.75124…)2−10.07936…(−0.75124…)−5.49891…=13.86617…f′(v1)=−304.78100…(−0.75124…)2−110.85125…(−0.75124…)−10.07936…=−98.81153…v2=−0.61091…
Δv2=∣−0.61091…−(−0.75124…)∣=0.14032…Δv2=0.14032…
v3=−0.55501…:Δv3=0.05590…
f(v2)=−101.59366…(−0.61091…)3−55.42562…(−0.61091…)2−10.07936…(−0.61091…)−5.49891…=3.13665…f′(v2)=−304.78100…(−0.61091…)2−110.85125…(−0.61091…)−10.07936…=−56.10803…v3=−0.55501…
Δv3=∣−0.55501…−(−0.61091…)∣=0.05590…Δv3=0.05590…
v4=−0.54579…:Δv4=0.00921…
f(v3)=−101.59366…(−0.55501…)3−55.42562…(−0.55501…)2−10.07936…(−0.55501…)−5.49891…=0.39093…f′(v3)=−304.78100…(−0.55501…)2−110.85125…(−0.55501…)−10.07936…=−42.43951…v4=−0.54579…
Δv4=∣−0.54579…−(−0.55501…)∣=0.00921…Δv4=0.00921…
v5=−0.54556…:Δv5=0.00023…
f(v4)=−101.59366…(−0.54579…)3−55.42562…(−0.54579…)2−10.07936…(−0.54579…)−5.49891…=0.00957…f′(v4)=−304.78100…(−0.54579…)2−110.85125…(−0.54579…)−10.07936…=−40.37008…v5=−0.54556…
Δv5=∣−0.54556…−(−0.54579…)∣=0.00023…Δv5=0.00023…
v6=−0.54556…:Δv6=1.54611E−7
f(v5)=−101.59366…(−0.54556…)3−55.42562…(−0.54556…)2−10.07936…(−0.54556…)−5.49891…=6.23352E−6f′(v5)=−304.78100…(−0.54556…)2−110.85125…(−0.54556…)−10.07936…=−40.31750…v6=−0.54556…
Δv6=∣−0.54556…−(−0.54556…)∣=1.54611E−7Δv6=1.54611E−7
v≈−0.54556…
使用长除法 Equation0:v+0.54556…−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…=−101.59366…v2−10.07936…
−101.59366…v2−10.07936…≈0
使用牛顿-拉弗森方法找到 −101.59366…v2−10.07936…=0 的一个解:v∈R无解
−101.59366…v2−10.07936…=0
牛顿-拉弗森近似法定义
f(v)=−101.59366…v2−10.07936…
找到 f′(v):−203.18733…v
dvd(−101.59366…v2−10.07936…)
使用微分加减法定则: (f±g)′=f′±g′=−dvd(101.59366…v2)−dvd(10.07936…)
dvd(101.59366…v2)=203.18733…v
dvd(101.59366…v2)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=101.59366…dvd(v2)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=101.59366…⋅2v2−1
化简=203.18733…v
dvd(10.07936…)=0
dvd(10.07936…)
常数微分: dxd(a)=0=0
=−203.18733…v−0
化简=−203.18733…v
令 v0=−1计算 vn+1 至 Δvn+1<0.000001
v1=−0.45039…:Δv1=0.54960…
f(v0)=−101.59366…(−1)2−10.07936…=−111.67303…f′(v0)=−203.18733…(−1)=203.18733…v1=−0.45039…
Δv1=∣−0.45039…−(−1)∣=0.54960…Δv1=0.54960…
v2=−0.11505…:Δv2=0.33533…
f(v1)=−101.59366…(−0.45039…)2−10.07936…=−30.68810…f′(v1)=−203.18733…(−0.45039…)=91.51429…v2=−0.11505…
Δv2=∣−0.11505…−(−0.45039…)∣=0.33533…Δv2=0.33533…
v3=0.37361…:Δv3=0.48867…
f(v2)=−101.59366…(−0.11505…)2−10.07936…=−11.42427…f′(v2)=−203.18733…(−0.11505…)=23.37813…v3=0.37361…
Δv3=∣0.37361…−(−0.11505…)∣=0.48867…Δv3=0.48867…
v4=0.05403…:Δv4=0.31958…
f(v3)=−101.59366…⋅0.37361…2−10.07936…=−24.26076…f′(v3)=−203.18733…⋅0.37361…=−75.91416…v4=0.05403…
Δv4=∣0.05403…−0.37361…∣=0.31958…Δv4=0.31958…
v5=−0.89102…:Δv5=0.94505…
f(v4)=−101.59366…⋅0.05403…2−10.07936…=−10.37600…f′(v4)=−203.18733…⋅0.05403…=−10.97924…v5=−0.89102…
Δv5=∣−0.89102…−0.05403…∣=0.94505…Δv5=0.94505…
v6=−0.38983…:Δv6=0.50118…
f(v5)=−101.59366…(−0.89102…)2−10.07936…=−90.73642…f′(v5)=−203.18733…(−0.89102…)=181.04414…v6=−0.38983…
Δv6=∣−0.38983…−(−0.89102…)∣=0.50118…Δv6=0.50118…
v7=−0.06766…:Δv7=0.32216…
f(v6)=−101.59366…(−0.38983…)2−10.07936…=−25.51884…f′(v6)=−203.18733…(−0.38983…)=79.20991…v7=−0.06766…
Δv7=∣−0.06766…−(−0.38983…)∣=0.32216…Δv7=0.32216…
v8=0.69923…:Δv8=0.76690…
f(v7)=−101.59366…(−0.06766…)2−10.07936…=−10.54458…f′(v7)=−203.18733…(−0.06766…)=13.74960…v8=0.69923…
Δv8=∣0.69923…−(−0.06766…)∣=0.76690…Δv8=0.76690…
v9=0.27867…:Δv9=0.42055…
f(v8)=−101.59366…⋅0.69923…2−10.07936…=−59.75094…f′(v8)=−203.18733…⋅0.69923…=−142.07487…v9=0.27867…
Δv9=∣0.27867…−0.69923…∣=0.42055…Δv9=0.42055…
v10=−0.03867…:Δv10=0.31734…
f(v9)=−101.59366…⋅0.27867…2−10.07936…=−17.96890…f′(v9)=−203.18733…⋅0.27867…=−56.62250…v10=−0.03867…
Δv10=∣−0.03867…−0.27867…∣=0.31734…Δv10=0.31734…
v11=1.26333…:Δv11=1.30200…
f(v10)=−101.59366…(−0.03867…)2−10.07936…=−10.23132…f′(v10)=−203.18733…(−0.03867…)=7.85811…v11=1.26333…
Δv11=∣1.26333…−(−0.03867…)∣=1.30200…Δv11=1.30200…
无法得出解
解为v≈0.54556…,v≈−0.54556…
v≈0.54556…,v≈−0.54556…
验证解
找到无定义的点(奇点):v=0
取 (2310v3)2−v2 的分母,令其等于零
解 2310v=0:v=0
2310v=0
两边除以 2310
2310v=0
两边除以 231023102310v=23100
化简
23102310v=23100
化简 23102310v:v
23102310v
约分:2310=v
化简 23100:0
23100
使用法则 a0=0: a=0=0
v=0
v=0
v=0
以下点无定义v=0
将不在定义域的点与解相综合:
v≈0.54556…,v≈−0.54556…
将解 v=0.54556…,v=−0.54556… 代入 2uv=8232⋅3
对于 2uv=8232⋅3,用 0.54556… 替代 v:u=2232⋅1.09112…3
对于 2uv=8232⋅3,用 0.54556… 替代 v2u⋅0.54556…=82323
解 2u0.54556…=82323:u=2232⋅1.09112…3
2u⋅0.54556…=82323
化简 82323:2373
82323
因式分解数字: 8=23=232323
化简 23232:2371
23232
使用指数法则: xbxa=xb−a1=23−321
3−32=37
3−32
将项转换为分式: 3=33⋅3=33⋅3−32
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=33⋅3−2
3⋅3−2=7
3⋅3−2
数字相乘:3⋅3=9=9−2
数字相减:9−2=7=7
=37
=2371
=2373
2u⋅0.54556…=2373
两边除以 2⋅0.54556…
2u⋅0.54556…=2373
两边除以 2⋅0.54556…2⋅0.54556…2u⋅0.54556…=2⋅0.54556…2373
化简
2⋅0.54556…2u⋅0.54556…=2⋅0.54556…2373
化简 2⋅0.54556…2u⋅0.54556…:u
2⋅0.54556…2u⋅0.54556…
约分:2=0.54556…u⋅0.54556…
约分:0.54556…=u
化简 2⋅0.54556…2373:2232⋅1.09112…3
2⋅0.54556…2373
数字相乘:2⋅0.54556…=1.09112…=1.09112…2373
使用分式法则: acb=c⋅ab=237⋅1.09112…3
237=2232
237
237=22+31=22+31
使用指数法则: xa+b=xaxb=22⋅231
整理后得=2232
=2232⋅1.09112…3
u=2232⋅1.09112…3
u=2232⋅1.09112…3
u=2232⋅1.09112…3
对于 2uv=8232⋅3,用 −0.54556… 替代 v:u=−2232⋅1.09112…3
对于 2uv=8232⋅3,用 −0.54556… 替代 v2u(−0.54556…)=82323
解 2u(−0.54556…)=82323:u=−2232⋅1.09112…3
2u(−0.54556…)=82323
化简 82323:2373
82323
因式分解数字: 8=23=232323
化简 23232:2371
23232
使用指数法则: xbxa=xb−a1=23−321
3−32=37
3−32
将项转换为分式: 3=33⋅3=33⋅3−32
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=33⋅3−2
3⋅3−2=7
3⋅3−2
数字相乘:3⋅3=9=9−2
数字相减:9−2=7=7
=37
=2371
=2373
2u(−0.54556…)=2373
两边除以 2(−0.54556…)
2u(−0.54556…)=2373
两边除以 2(−0.54556…)2(−0.54556…)2u(−0.54556…)=2(−0.54556…)2373
化简
2(−0.54556…)2u(−0.54556…)=2(−0.54556…)2373
化简 2(−0.54556…)2u(−0.54556…):u
2(−0.54556…)2u(−0.54556…)
数字相乘:2(−0.54556…)=−1.09112…=−1.09112…−1.09112…u
约分:−1.09112…=u
化简 2(−0.54556…)2373:−2232⋅1.09112…3
2(−0.54556…)2373
去除括号: (−a)=−a=−2⋅0.54556…2373
数字相乘:2⋅0.54556…=1.09112…=−1.09112…2373
使用分式法则: −ba=−ba=−1.09112…2373
使用分式法则: acb=c⋅ab1.09112…2373=237⋅1.09112…3=−237⋅1.09112…3
237=2232
237
237=22+31=22+31
使用指数法则: xa+b=xaxb=22⋅231
整理后得=2232
=−2232⋅1.09112…3
u=−2232⋅1.09112…3
u=−2232⋅1.09112…3
u=−2232⋅1.09112…3
将解代入原方程进行验证
将它们代入 u2−v2=−8232检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 u=−2232⋅1.09112…3,v=−0.54556…的解:真
u2−v2=−8232
代入 u=−2232⋅1.09112…3,v=−0.54556…(−2232⋅1.09112…3)2−(−0.54556…)2=−8232
整理后得38.09762…332−0.29763…=−8232
真
检验 u=2232⋅1.09112…3,v=0.54556…的解:真
u2−v2=−8232
代入 u=2232⋅1.09112…3,v=0.54556…(2232⋅1.09112…3)2−0.54556…2=−8232
整理后得38.09762…332−0.29763…=−8232
真
将它们代入 2uv=83⋅232检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 u=−2232⋅1.09112…3,v=−0.54556…的解:真
2uv=83⋅232
代入 u=−2232⋅1.09112…3,v=−0.54556…2(−2232⋅1.09112…3)(−0.54556…)=83⋅232
整理后得4.36449…3⋅232⋅0.54556…=83⋅232
真
检验 u=2232⋅1.09112…3,v=0.54556…的解:真
2uv=83⋅232
代入 u=2232⋅1.09112…3,v=0.54556…2⋅2232⋅1.09112…3⋅0.54556…=83⋅232
整理后得4.36449…3⋅232⋅0.54556…=83⋅232
真
因而,u2−v2=−8232,2uv=83⋅232 最后的解是 (u=2232⋅1.09112…3,u=−2232⋅1.09112…3,v=0.54556…v=−0.54556…)
w=u+vi代回w=2232⋅1.09112…3+0.54556…i,w=−2232⋅1.09112…3−0.54556…i
解 w2=31612−1−3i:w=−2232⋅1.09112…3+0.54556…i,w=2232⋅1.09112…3−0.54556…i
w2=31612−1−3i
替代 w=u+vi(u+vi)2=31612−1−3i
乘开
(u+vi)2=31612−1−3i
展开 (u+vi)2:(u2−v2)+2iuv
(u+vi)2
=(u+iv)2
使用完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2a=u,b=vi
=u2+2uvi+(vi)2
(vi)2=−v2
(vi)2
使用指数法则: (a⋅b)n=anbn=i2v2
i2=−1
i2
使用虚数运算法则: i2=−1=−1
=(−1)v2
整理后得=−v2
=u2+2iuv−v2
将 u2+2iuv−v2 改写成标准复数形式:(u2−v2)+2uvi
u2+2iuv−v2
将复数的实部和虚部分组=(u2−v2)+2uvi
=(u2−v2)+2uvi
展开 31612−1−3i:−8232−i82323
31612−1−3i
3161=2321
3161
使用根式运算法则: nba=nbna, 假定 a≥0,b≥0=31631
316=232
316
16质因数分解:24
16
16除以 216=8⋅2=2⋅8
8除以 28=4⋅2=2⋅2⋅4
4除以 24=2⋅2=2⋅2⋅2⋅2
2 是质数,因此无法进一步因数分解=2⋅2⋅2⋅2
=24
=324
使用指数法则: ab+c=ab⋅ac=323⋅2
使用根式运算法则: nab=nanb=32323
使用根式运算法则: nan=a323=2=232
=23231
使用法则 n1=131=1=2321
=2321⋅2−1−3i
分式相乘: ba⋅dc=b⋅da⋅c=232⋅21⋅(−1−3i)
1⋅(−1−3i)=−1−3i
1⋅(−1−3i)
乘以:1⋅(−1−3i)=(−1−3i)=(−1−3i)
去除括号: (−a)=−a=−1−3i
=2⋅232−1−3i
数字相乘:2⋅2=4=432−1−3i
使用分式法则: ca±b=ca±cb432−1−3i=−4321−4323i=−4321−4323i
将 −4321−4323i 改写成标准复数形式:−8232−83⋅232i
−4321−4323i
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=432−1−3i
使用分式法则: ca±b=ca±cb432−1−3i=−4321−4323i=−4321−4323i
−4323=−83⋅232
−4323
乘以共轭根式 232232=−432⋅2323⋅232
432⋅232=8
432⋅232
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c23232=232⋅231=232+31=4⋅232+31
232+31=2
232+31
合并分式 32+31:1
使用法则 ca±cb=ca±b=32+1
数字相加:2+1=3=33
使用法则 aa=1=1
=21
使用法则 a1=a=2
=4⋅2
数字相乘:4⋅2=8=8
=−83⋅232
=−4321−83⋅232i
−4321=−8232
−4321
乘以共轭根式 232232=−432⋅2321⋅232
1⋅232=232
432⋅232=8
432⋅232
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c23232=232⋅231=232+31=4⋅232+31
232+31=2
232+31
合并分式 32+31:1
使用法则 ca±cb=ca±b=32+1
数字相加:2+1=3=33
使用法则 aa=1=1
=21
使用法则 a1=a=2
=4⋅2
数字相乘:4⋅2=8=8
=−8232
=−8232−83⋅232i
=−8232−83⋅232i
(u2−v2)+2iuv=−8232−i82323
(u2−v2)+2iuv=−8232−i82323
复数仅在实部和虚部均相等时才相等改写为方程组:[u2−v2=−82322uv=−83⋅232]
[u2−v2=−82322uv=−83⋅232]:(u=−2232⋅1.09112…3,u=2232⋅1.09112…3,v=0.54556…v=−0.54556…)
[u2−v2=−82322uv=−83⋅232]
对于 2uv=−8232⋅3将 u移到一边:u=−2310v3
2uv=−82323
化简 −82323:−2373
−82323
因式分解数字: 8=23=−232323
化简 23232:2371
23232
使用指数法则: xbxa=xb−a1=23−321
3−32=37
3−32
将项转换为分式: 3=33⋅3=33⋅3−32
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=33⋅3−2
3⋅3−2=7
3⋅3−2
数字相乘:3⋅3=9=9−2
数字相减:9−2=7=7
=37
=2371
=−2373
2uv=−2373
两边除以 2v
2uv=−2373
两边除以 2v2v2uv=2v−2373
化简
2v2uv=2v−2373
化简 2v2uv:u
2v2uv
约分:2=vuv
约分:v=u
化简 2v−2373:−2310v3
2v−2373
使用分式法则: b−a=−ba=−2v2373
使用分式法则: cba=b⋅ca2v2373=237⋅2v3=−237⋅2v3
237⋅2=2310
237⋅2
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c237⋅2=237+1=237+1
37+1=310
37+1
将项转换为分式: 1=31⋅3=37+31⋅3
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=37+1⋅3
7+1⋅3=10
7+1⋅3
数字相乘:1⋅3=3=7+3
数字相加:7+3=10=10
=310
=2310
=−2310v3
u=−2310v3
u=−2310v3
u=−2310v3
将解 u=−2310v3 代入 u2−v2=−8232
对于 u2−v2=−8232,用 −2310v3 替代 u:v≈0.54556…,v≈−0.54556…
对于 u2−v2=−8232,用 −2310v3 替代 u(−2310v3)2−v2=−8232
解 (−2310v3)2−v2=−8232:v≈0.54556…,v≈−0.54556…
(−2310v3)2−v2=−8232
乘以最小公倍数
(−2310v3)2−v2=−8232
化简 (−2310v3)2:26⋅232v23
(−2310v3)2
2310v3=2332v3
2310v3
2310=2332
2310
2310=23+31=23+31
使用指数法则: xa+b=xaxb=23⋅231
整理后得=2332
=2332v3
=(−2332v3)2
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−2332v3)2=(2332v3)2=(2332v3)2
使用指数法则: (ba)c=bcac=(2332v)2(3)2
使用指数法则: (a⋅b)n=anbn(2332v)2=(23)2(32)2v2=(23)2(32)2v2(3)2
(3)2:3
使用根式运算法则: a=a21=(321)2
使用指数法则: (ab)c=abc=321⋅2
21⋅2=1
21⋅2
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=21⋅2
约分:2=1
=3
=(23)2(32)2v23
(23)2:26
使用指数法则: (ab)c=abc=23⋅2
数字相乘:3⋅2=6=26
=26(32)2v23
(32)2:232
使用根式运算法则: na=an1=(231)2
使用指数法则: (ab)c=abc=231⋅2
31⋅2=32
31⋅2
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=31⋅2
数字相乘:1⋅2=2=32
=232
=26⋅232v23
26⋅232v2=26+32v2
26⋅232v2
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c26⋅232=26+32=26+32v2
=232+6v23
26+32=26⋅232
26+32
使用指数法则: xa+b=xaxb=26⋅232
=26⋅232v23
26⋅232v23−v2=−8232
找到 26+32v2,8 的最小公倍数:64⋅232v2
26+32v2,8
最小公倍数 (LCM)
64,8的最小公倍数:64
64,8
最小公倍数 (LCM)
64质因数分解:2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
64
64除以 264=32⋅2=2⋅32
32除以 232=16⋅2=2⋅2⋅16
16除以 216=8⋅2=2⋅2⋅2⋅8
8除以 28=4⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅4
4除以 24=2⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
8质因数分解:2⋅2⋅2
8
8除以 28=4⋅2=2⋅4
4除以 24=2⋅2=2⋅2⋅2
将每个因子乘以它在 64 或 8中出现的最多次数=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
数字相乘:2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=64=64
计算出由出现在 64⋅232v2 或 8中的因子组成的表达式=64⋅232v2
乘以最小公倍数=64⋅232v226⋅232v23⋅64⋅232v2−v2⋅64⋅232v2=−8232⋅64⋅232v2
化简
26⋅232v23⋅64⋅232v2−v2⋅64⋅232v2=−8232⋅64⋅232v2
化简 26⋅232v23⋅64⋅232v2:3
26⋅232v23⋅64⋅232v2
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=26⋅232v23⋅64⋅232v2
约分:232=26v23⋅64v2
约分:v2=263⋅64
数字相乘:3⋅64=192=26192
分解 192:26⋅3
因式分解 192=26⋅3
=2626⋅3
约分:26=3
化简 −v2⋅64⋅232v2:−64⋅232v4
−v2⋅64⋅232v2
使用指数法则: ab⋅ac=ab+cv2v2=v2+2=−64⋅232v2+2
数字相加:2+2=4=−64⋅232v4
化简 −8232⋅64⋅232v2:−1632v2
−8232⋅64⋅232v2
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=−8232⋅64⋅232v2
232⋅64⋅232v2=64⋅22⋅32v2
232⋅64⋅232v2
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c232⋅232=232+32=64⋅232+32v2
同类项相加:32+32=2⋅32=64⋅22⋅32v2
=−864⋅22⋅32v2
数字相除:864=8=−8⋅22⋅32v2
22⋅32=232
22⋅32
乘 2⋅32:34
2⋅32
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=32⋅2
数字相乘:2⋅2=4=34
=234
234=21+31=21+31
使用指数法则: xa+b=xaxb=21⋅231
整理后得=232
=−8⋅232v2
数字相乘:8⋅2=16=−1632v2
3−64⋅232v4=−1632v2
3−64⋅232v4=−1632v2
3−64⋅232v4=−1632v2
解 3−64⋅232v4=−1632v2:v≈0.54556…,v≈−0.54556…
3−64⋅232v4=−1632v2
将 1632v2para o lado esquerdo
3−64⋅232v4=−1632v2
两边加上 1632v23−64⋅232v4+1632v2=−1632v2+1632v2
化简3−64⋅232v4+1632v2=0
3−64⋅232v4+1632v2=0
改写成标准形式 anxn+…+a1x+a0=0−64⋅232v4+1632v2+3=0
使用牛顿-拉弗森方法找到 −101.59366…v4+20.15873…v2+3=0 的一个解:v≈0.54556…
−101.59366…v4+20.15873…v2+3=0
牛顿-拉弗森近似法定义
f(v)=−101.59366…v4+20.15873…v2+3
找到 f′(v):−406.37466…v3+40.31747…v
dvd(−101.59366…v4+20.15873…v2+3)
使用微分加减法定则: (f±g)′=f′±g′=−dvd(101.59366…v4)+dvd(20.15873…v2)+dvd(3)
dvd(101.59366…v4)=406.37466…v3
dvd(101.59366…v4)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=101.59366…dvd(v4)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=101.59366…⋅4v4−1
化简=406.37466…v3
dvd(20.15873…v2)=40.31747…v
dvd(20.15873…v2)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=20.15873…dvd(v2)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=20.15873…⋅2v2−1
化简=40.31747…v
dvd(3)=0
dvd(3)
常数微分: dxd(a)=0=0
=−406.37466…v3+40.31747…v+0
化简=−406.37466…v3+40.31747…v
令 v0=1计算 vn+1 至 Δvn+1<0.000001
v1=0.78573…:Δv1=0.21426…
f(v0)=−101.59366…⋅14+20.15873…⋅12+3=−78.43493…f′(v0)=−406.37466…⋅13+40.31747…⋅1=−366.05719…v1=0.78573…
Δv1=∣0.78573…−1∣=0.21426…Δv1=0.21426…
v2=0.64504…:Δv2=0.14068…
f(v1)=−101.59366…⋅0.78573…4+20.15873…⋅0.78573…2+3=−23.27682…f′(v1)=−406.37466…⋅0.78573…3+40.31747…⋅0.78573…=−165.44887…v2=0.64504…
Δv2=∣0.64504…−0.78573…∣=0.14068…Δv2=0.14068…
v3=0.57039…:Δv3=0.07465…
f(v2)=−101.59366…⋅0.64504…4+20.15873…⋅0.64504…2+3=−6.20040…f′(v2)=−406.37466…⋅0.64504…3+40.31747…⋅0.64504…=−83.05958…v3=0.57039…
Δv3=∣0.57039…−0.64504…∣=0.07465…Δv3=0.07465…
v4=0.54759…:Δv4=0.02280…
f(v3)=−101.59366…⋅0.57039…4+20.15873…⋅0.57039…2+3=−1.19513…f′(v3)=−406.37466…⋅0.57039…3+40.31747…⋅0.57039…=−52.41610…v4=0.54759…
Δv4=∣0.54759…−0.57039…∣=0.02280…Δv4=0.02280…
v5=0.54557…:Δv5=0.00201…
f(v4)=−101.59366…⋅0.54759…4+20.15873…⋅0.54759…2+3=−0.08990…f′(v4)=−406.37466…⋅0.54759…3+40.31747…⋅0.54759…=−44.64836…v5=0.54557…
Δv5=∣0.54557…−0.54759…∣=0.00201…Δv5=0.00201…
v6=0.54556…:Δv6=0.00001…
f(v5)=−101.59366…⋅0.54557…4+20.15873…⋅0.54557…2+3=−0.00065…f′(v5)=−406.37466…⋅0.54557…3+40.31747…⋅0.54557…=−43.99616…v6=0.54556…
Δv6=∣0.54556…−0.54557…∣=0.00001…Δv6=0.00001…
v7=0.54556…:Δv7=8.18838E−10
f(v6)=−101.59366…⋅0.54556…4+20.15873…⋅0.54556…2+3=−3.60218E−8f′(v6)=−406.37466…⋅0.54556…3+40.31747…⋅0.54556…=−43.99134…v7=0.54556…
Δv7=∣0.54556…−0.54556…∣=8.18838E−10Δv7=8.18838E−10
v≈0.54556…
使用长除法 Equation0:v−0.54556…−64⋅232v4+1632v2+3=−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…
−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…≈0
使用牛顿-拉弗森方法找到 −101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…=0 的一个解:v≈−0.54556…
−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…=0
牛顿-拉弗森近似法定义
f(v)=−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…
找到 f′(v):−304.78100…v2−110.85125…v−10.07936…
dvd(−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…)
使用微分加减法定则: (f±g)′=f′±g′=−dvd(101.59366…v3)−dvd(55.42562…v2)−dvd(10.07936…v)−dvd(5.49891…)
dvd(101.59366…v3)=304.78100…v2
dvd(101.59366…v3)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=101.59366…dvd(v3)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=101.59366…⋅3v3−1
化简=304.78100…v2
dvd(55.42562…v2)=110.85125…v
dvd(55.42562…v2)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=55.42562…dvd(v2)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=55.42562…⋅2v2−1
化简=110.85125…v
dvd(10.07936…v)=10.07936…
dvd(10.07936…v)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=10.07936…dvdv
使用常见微分定则: dvdv=1=10.07936…⋅1
化简=10.07936…
dvd(5.49891…)=0
dvd(5.49891…)
常数微分: dxd(a)=0=0
=−304.78100…v2−110.85125…v−10.07936…−0
化简=−304.78100…v2−110.85125…v−10.07936…
令 v0=−1计算 vn+1 至 Δvn+1<0.000001
v1=−0.75124…:Δv1=0.24875…
f(v0)=−101.59366…(−1)3−55.42562…(−1)2−10.07936…(−1)−5.49891…=50.74849…f′(v0)=−304.78100…(−1)2−110.85125…(−1)−10.07936…=−204.00911…v1=−0.75124…
Δv1=∣−0.75124…−(−1)∣=0.24875…Δv1=0.24875…
v2=−0.61091…:Δv2=0.14032…
f(v1)=−101.59366…(−0.75124…)3−55.42562…(−0.75124…)2−10.07936…(−0.75124…)−5.49891…=13.86617…f′(v1)=−304.78100…(−0.75124…)2−110.85125…(−0.75124…)−10.07936…=−98.81153…v2=−0.61091…
Δv2=∣−0.61091…−(−0.75124…)∣=0.14032…Δv2=0.14032…
v3=−0.55501…:Δv3=0.05590…
f(v2)=−101.59366…(−0.61091…)3−55.42562…(−0.61091…)2−10.07936…(−0.61091…)−5.49891…=3.13665…f′(v2)=−304.78100…(−0.61091…)2−110.85125…(−0.61091…)−10.07936…=−56.10803…v3=−0.55501…
Δv3=∣−0.55501…−(−0.61091…)∣=0.05590…Δv3=0.05590…
v4=−0.54579…:Δv4=0.00921…
f(v3)=−101.59366…(−0.55501…)3−55.42562…(−0.55501…)2−10.07936…(−0.55501…)−5.49891…=0.39093…f′(v3)=−304.78100…(−0.55501…)2−110.85125…(−0.55501…)−10.07936…=−42.43951…v4=−0.54579…
Δv4=∣−0.54579…−(−0.55501…)∣=0.00921…Δv4=0.00921…
v5=−0.54556…:Δv5=0.00023…
f(v4)=−101.59366…(−0.54579…)3−55.42562…(−0.54579…)2−10.07936…(−0.54579…)−5.49891…=0.00957…f′(v4)=−304.78100…(−0.54579…)2−110.85125…(−0.54579…)−10.07936…=−40.37008…v5=−0.54556…
Δv5=∣−0.54556…−(−0.54579…)∣=0.00023…Δv5=0.00023…
v6=−0.54556…:Δv6=1.54611E−7
f(v5)=−101.59366…(−0.54556…)3−55.42562…(−0.54556…)2−10.07936…(−0.54556…)−5.49891…=6.23352E−6f′(v5)=−304.78100…(−0.54556…)2−110.85125…(−0.54556…)−10.07936…=−40.31750…v6=−0.54556…
Δv6=∣−0.54556…−(−0.54556…)∣=1.54611E−7Δv6=1.54611E−7
v≈−0.54556…
使用长除法 Equation0:v+0.54556…−101.59366…v3−55.42562…v2−10.07936…v−5.49891…=−101.59366…v2−10.07936…
−101.59366…v2−10.07936…≈0
使用牛顿-拉弗森方法找到 −101.59366…v2−10.07936…=0 的一个解:v∈R无解
−101.59366…v2−10.07936…=0
牛顿-拉弗森近似法定义
f(v)=−101.59366…v2−10.07936…
找到 f′(v):−203.18733…v
dvd(−101.59366…v2−10.07936…)
使用微分加减法定则: (f±g)′=f′±g′=−dvd(101.59366…v2)−dvd(10.07936…)
dvd(101.59366…v2)=203.18733…v
dvd(101.59366…v2)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=101.59366…dvd(v2)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=101.59366…⋅2v2−1
化简=203.18733…v
dvd(10.07936…)=0
dvd(10.07936…)
常数微分: dxd(a)=0=0
=−203.18733…v−0
化简=−203.18733…v
令 v0=−1计算 vn+1 至 Δvn+1<0.000001
v1=−0.45039…:Δv1=0.54960…
f(v0)=−101.59366…(−1)2−10.07936…=−111.67303…f′(v0)=−203.18733…(−1)=203.18733…v1=−0.45039…
Δv1=∣−0.45039…−(−1)∣=0.54960…Δv1=0.54960…
v2=−0.11505…:Δv2=0.33533…
f(v1)=−101.59366…(−0.45039…)2−10.07936…=−30.68810…f′(v1)=−203.18733…(−0.45039…)=91.51429…v2=−0.11505…
Δv2=∣−0.11505…−(−0.45039…)∣=0.33533…Δv2=0.33533…
v3=0.37361…:Δv3=0.48867…
f(v2)=−101.59366…(−0.11505…)2−10.07936…=−11.42427…f′(v2)=−203.18733…(−0.11505…)=23.37813…v3=0.37361…
Δv3=∣0.37361…−(−0.11505…)∣=0.48867…Δv3=0.48867…
v4=0.05403…:Δv4=0.31958…
f(v3)=−101.59366…⋅0.37361…2−10.07936…=−24.26076…f′(v3)=−203.18733…⋅0.37361…=−75.91416…v4=0.05403…
Δv4=∣0.05403…−0.37361…∣=0.31958…Δv4=0.31958…
v5=−0.89102…:Δv5=0.94505…
f(v4)=−101.59366…⋅0.05403…2−10.07936…=−10.37600…f′(v4)=−203.18733…⋅0.05403…=−10.97924…v5=−0.89102…
Δv5=∣−0.89102…−0.05403…∣=0.94505…Δv5=0.94505…
v6=−0.38983…:Δv6=0.50118…
f(v5)=−101.59366…(−0.89102…)2−10.07936…=−90.73642…f′(v5)=−203.18733…(−0.89102…)=181.04414…v6=−0.38983…
Δv6=∣−0.38983…−(−0.89102…)∣=0.50118…Δv6=0.50118…
v7=−0.06766…:Δv7=0.32216…
f(v6)=−101.59366…(−0.38983…)2−10.07936…=−25.51884…f′(v6)=−203.18733…(−0.38983…)=79.20991…v7=−0.06766…
Δv7=∣−0.06766…−(−0.38983…)∣=0.32216…Δv7=0.32216…
v8=0.69923…:Δv8=0.76690…
f(v7)=−101.59366…(−0.06766…)2−10.07936…=−10.54458…f′(v7)=−203.18733…(−0.06766…)=13.74960…v8=0.69923…
Δv8=∣0.69923…−(−0.06766…)∣=0.76690…Δv8=0.76690…
v9=0.27867…:Δv9=0.42055…
f(v8)=−101.59366…⋅0.69923…2−10.07936…=−59.75094…f′(v8)=−203.18733…⋅0.69923…=−142.07487…v9=0.27867…
Δv9=∣0.27867…−0.69923…∣=0.42055…Δv9=0.42055…
v10=−0.03867…:Δv10=0.31734…
f(v9)=−101.59366…⋅0.27867…2−10.07936…=−17.96890…f′(v9)=−203.18733…⋅0.27867…=−56.62250…v10=−0.03867…
Δv10=∣−0.03867…−0.27867…∣=0.31734…Δv10=0.31734…
v11=1.26333…:Δv11=1.30200…
f(v10)=−101.59366…(−0.03867…)2−10.07936…=−10.23132…f′(v10)=−203.18733…(−0.03867…)=7.85811…v11=1.26333…
Δv11=∣1.26333…−(−0.03867…)∣=1.30200…Δv11=1.30200…
无法得出解
解为v≈0.54556…,v≈−0.54556…
v≈0.54556…,v≈−0.54556…
验证解
找到无定义的点(奇点):v=0
取 (−2310v3)2−v2 的分母,令其等于零
解 2310v=0:v=0
2310v=0
两边除以 2310
2310v=0
两边除以 231023102310v=23100
化简
23102310v=23100
化简 23102310v:v
23102310v
约分:2310=v
化简 23100:0
23100
使用法则 a0=0: a=0=0
v=0
v=0
v=0
以下点无定义v=0
将不在定义域的点与解相综合:
v≈0.54556…,v≈−0.54556…
将解 v=0.54556…,v=−0.54556… 代入 2uv=−8232⋅3
对于 2uv=−8232⋅3,用 0.54556… 替代 v:u=−2232⋅1.09112…3
对于 2uv=−8232⋅3,用 0.54556… 替代 v2u⋅0.54556…=−82323
解 2u0.54556…=−82323:u=−2232⋅1.09112…3
2u⋅0.54556…=−82323
化简 −82323:−2373
−82323
因式分解数字: 8=23=−232323
化简 23232:2371
23232
使用指数法则: xbxa=xb−a1=23−321
3−32=37
3−32
将项转换为分式: 3=33⋅3=33⋅3−32
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=33⋅3−2
3⋅3−2=7
3⋅3−2
数字相乘:3⋅3=9=9−2
数字相减:9−2=7=7
=37
=2371
=−2373
2u⋅0.54556…=−2373
两边除以 2⋅0.54556…
2u⋅0.54556…=−2373
两边除以 2⋅0.54556…2⋅0.54556…2u⋅0.54556…=2⋅0.54556…−2373
化简
2⋅0.54556…2u⋅0.54556…=2⋅0.54556…−2373
化简 2⋅0.54556…2u⋅0.54556…:u
2⋅0.54556…2u⋅0.54556…
约分:2=0.54556…u⋅0.54556…
约分:0.54556…=u
化简 2⋅0.54556…−2373:−2232⋅1.09112…3
2⋅0.54556…−2373
数字相乘:2⋅0.54556…=1.09112…=1.09112…−2373
使用分式法则: b−a=−ba=−1.09112…2373
使用分式法则: acb=c⋅ab1.09112…2373=237⋅1.09112…3=−237⋅1.09112…3
237=2232
237
237=22+31=22+31
使用指数法则: xa+b=xaxb=22⋅231
整理后得=2232
=−2232⋅1.09112…3
u=−2232⋅1.09112…3
u=−2232⋅1.09112…3
u=−2232⋅1.09112…3
对于 2uv=−8232⋅3,用 −0.54556… 替代 v:u=2232⋅1.09112…3
对于 2uv=−8232⋅3,用 −0.54556… 替代 v2u(−0.54556…)=−82323
解 2u(−0.54556…)=−82323:u=2232⋅1.09112…3
2u(−0.54556…)=−82323
化简 −82323:−2373
−82323
因式分解数字: 8=23=−232323
化简 23232:2371
23232
使用指数法则: xbxa=xb−a1=23−321
3−32=37
3−32
将项转换为分式: 3=33⋅3=33⋅3−32
因为分母相等,所以合并分式: ca±cb=ca±b=33⋅3−2
3⋅3−2=7
3⋅3−2
数字相乘:3⋅3=9=9−2
数字相减:9−2=7=7
=37
=2371
=−2373
2u(−0.54556…)=−2373
两边除以 2(−0.54556…)
2u(−0.54556…)=−2373
两边除以 2(−0.54556…)2(−0.54556…)2u(−0.54556…)=2(−0.54556…)−2373
化简
2(−0.54556…)2u(−0.54556…)=2(−0.54556…)−2373
化简 2(−0.54556…)2u(−0.54556…):u
2(−0.54556…)2u(−0.54556…)
数字相乘:2(−0.54556…)=−1.09112…=−1.09112…−1.09112…u
约分:−1.09112…=u
化简 2(−0.54556…)−2373:2232⋅1.09112…3
2(−0.54556…)−2373
去除括号: (−a)=−a=−2⋅0.54556…−2373
数字相乘:2⋅0.54556…=1.09112…=−1.09112…−2373
使用分式法则: −b−a=ba=1.09112…2373
使用分式法则: acb=c⋅ab=237⋅1.09112…3
237=2232
237
237=22+31=22+31
使用指数法则: xa+b=xaxb=22⋅231
整理后得=2232
=2232⋅1.09112…3
u=2232⋅1.09112…3
u=2232⋅1.09112…3
u=2232⋅1.09112…3
将解代入原方程进行验证
将它们代入 u2−v2=−8232检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 u=2232⋅1.09112…3,v=−0.54556…的解:真
u2−v2=−8232
代入 u=2232⋅1.09112…3,v=−0.54556…(2232⋅1.09112…3)2−(−0.54556…)2=−8232
整理后得38.09762…332−0.29763…=−8232
真
检验 u=−2232⋅1.09112…3,v=0.54556…的解:真
u2−v2=−8232
代入 u=−2232⋅1.09112…3,v=0.54556…(−2232⋅1.09112…3)2−0.54556…2=−8232
整理后得38.09762…332−0.29763…=−8232
真
将它们代入 2uv=−83⋅232检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 u=2232⋅1.09112…3,v=−0.54556…的解:真
2uv=−83⋅232
代入 u=2232⋅1.09112…3,v=−0.54556…2⋅2232⋅1.09112…3(−0.54556…)=−83⋅232
整理后得−4.36449…3⋅232⋅0.54556…=−83⋅232
真
检验 u=−2232⋅1.09112…3,v=0.54556…的解:真
2uv=−83⋅232
代入 u=−2232⋅1.09112…3,v=0.54556…2(−2232⋅1.09112…3)⋅0.54556…=−83⋅232
整理后得−4.36449…3⋅232⋅0.54556…=−83⋅232
真
因而,u2−v2=−8232,2uv=−83⋅232 最后的解是 (u=−2232⋅1.09112…3,u=2232⋅1.09112…3,v=0.54556…v=−0.54556…)
w=u+vi代回w=−2232⋅1.09112…3+0.54556…i,w=2232⋅1.09112…3−0.54556…i
解为
w=2232,w=−2232,w=2232⋅1.09112…3+0.54556…i,w=−2232⋅1.09112…3−0.54556…i,w=−2232⋅1.09112…3+0.54556…i,w=2232⋅1.09112…3−0.54556…i
w=cos(x)代回cos(x)=2232,cos(x)=−2232,cos(x)=2232⋅1.09112…3+0.54556…i,cos(x)=−2232⋅1.09112…3−0.54556…i,cos(x)=−2232⋅1.09112…3+0.54556…i,cos(x)=2232⋅1.09112…3−0.54556…i
cos(x)=2232,cos(x)=−2232,cos(x)=2232⋅1.09112…3+0.54556…i,cos(x)=−2232⋅1.09112…3−0.54556…i,cos(x)=−2232⋅1.09112…3+0.54556…i,cos(x)=2232⋅1.09112…3−0.54556…i
cos(x)=2232:x=arccos(2232)+2πn,x=2π−arccos(2232)+2πn
cos(x)=2232
使用反三角函数性质
cos(x)=2232
cos(x)=2232的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(2232)+2πn,x=2π−arccos(2232)+2πn
x=arccos(2232)+2πn,x=2π−arccos(2232)+2πn
cos(x)=−2232:x=arccos(−2232)+2πn,x=−arccos(−2232)+2πn
cos(x)=−2232
使用反三角函数性质
cos(x)=−2232
cos(x)=−2232的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−2232)+2πn,x=−arccos(−2232)+2πn
x=arccos(−2232)+2πn,x=−arccos(−2232)+2πn
cos(x)=2232⋅1.09112…3+0.54556…i:无解
cos(x)=2232⋅1.09112…3+0.54556…i
化简 2232⋅1.09112…3+0.54556…i:8.72898…3⋅232+0.54556…i
2232⋅1.09112…3+0.54556…i
2232⋅1.09112…=32⋅4.36449…
2232⋅1.09112…
22=4=432⋅1.09112…
数字相乘:4⋅1.09112…=4.36449…=32⋅4.36449…
=32⋅4.36449…3+0.54556…i
4.36449…323=8.72898…3⋅232
4.36449…323
乘以共轭根式 232232=4.36449…32⋅2323⋅232
4.36449…32⋅232=8.72898…
4.36449…32⋅232
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c23232=232⋅231=232+31=4.36449…⋅232+31
232+31=2
232+31
合并分式 32+31:1
使用法则 ca±cb=ca±b=32+1
数字相加:2+1=3=33
使用法则 aa=1=1
=21
使用法则 a1=a=2
=2⋅4.36449…
数字相乘:4.36449…⋅2=8.72898…=8.72898…
=8.72898…3⋅232
=8.72898…3⋅232+0.54556…i
无解
cos(x)=−2232⋅1.09112…3−0.54556…i:无解
cos(x)=−2232⋅1.09112…3−0.54556…i
化简 −2232⋅1.09112…3−0.54556…i:−8.72898…3⋅232−0.54556…i
−2232⋅1.09112…3−0.54556…i
2232⋅1.09112…=32⋅4.36449…
2232⋅1.09112…
22=4=432⋅1.09112…
数字相乘:4⋅1.09112…=4.36449…=32⋅4.36449…
=−32⋅4.36449…3−0.54556…i
4.36449…323=8.72898…3⋅232
4.36449…323
乘以共轭根式 232232=4.36449…32⋅2323⋅232
4.36449…32⋅232=8.72898…
4.36449…32⋅232
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c23232=232⋅231=232+31=4.36449…⋅232+31
232+31=2
232+31
合并分式 32+31:1
使用法则 ca±cb=ca±b=32+1
数字相加:2+1=3=33
使用法则 aa=1=1
=21
使用法则 a1=a=2
=2⋅4.36449…
数字相乘:4.36449…⋅2=8.72898…=8.72898…
=8.72898…3⋅232
=−8.72898…3⋅232−0.54556…i
无解
cos(x)=−2232⋅1.09112…3+0.54556…i:无解
cos(x)=−2232⋅1.09112…3+0.54556…i
化简 −2232⋅1.09112…3+0.54556…i:−8.72898…3⋅232+0.54556…i
−2232⋅1.09112…3+0.54556…i
2232⋅1.09112…=32⋅4.36449…
2232⋅1.09112…
22=4=432⋅1.09112…
数字相乘:4⋅1.09112…=4.36449…=32⋅4.36449…
=−32⋅4.36449…3+0.54556…i
4.36449…323=8.72898…3⋅232
4.36449…323
乘以共轭根式 232232=4.36449…32⋅2323⋅232
4.36449…32⋅232=8.72898…
4.36449…32⋅232
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c23232=232⋅231=232+31=4.36449…⋅232+31
232+31=2
232+31
合并分式 32+31:1
使用法则 ca±cb=ca±b=32+1
数字相加:2+1=3=33
使用法则 aa=1=1
=21
使用法则 a1=a=2
=2⋅4.36449…
数字相乘:4.36449…⋅2=8.72898…=8.72898…
=8.72898…3⋅232
=−8.72898…3⋅232+0.54556…i
无解
cos(x)=2232⋅1.09112…3−0.54556…i:无解
cos(x)=2232⋅1.09112…3−0.54556…i
化简 2232⋅1.09112…3−0.54556…i:8.72898…3⋅232−0.54556…i
2232⋅1.09112…3−0.54556…i
2232⋅1.09112…=32⋅4.36449…
2232⋅1.09112…
22=4=432⋅1.09112…
数字相乘:4⋅1.09112…=4.36449…=32⋅4.36449…
=32⋅4.36449…3−0.54556…i
4.36449…323=8.72898…3⋅232
4.36449…323
乘以共轭根式 232232=4.36449…32⋅2323⋅232
4.36449…32⋅232=8.72898…
4.36449…32⋅232
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c23232=232⋅231=232+31=4.36449…⋅232+31
232+31=2
232+31
合并分式 32+31:1
使用法则 ca±cb=ca±b=32+1
数字相加:2+1=3=33
使用法则 aa=1=1
=21
使用法则 a1=a=2
=2⋅4.36449…
数字相乘:4.36449…⋅2=8.72898…=8.72898…
=8.72898…3⋅232
=8.72898…3⋅232−0.54556…i
无解
合并所有解x=arccos(2232)+2πn,x=2π−arccos(2232)+2πn,x=arccos(−2232)+2πn,x=−arccos(−2232)+2πn
以小数形式表示解x=0.88929…+2πn,x=2π−0.88929…+2πn,x=2.25229…+2πn,x=−2.25229…+2πn