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Beliebt Trigonometrie >

cos^3(x)= 1/(4(3cos(x)+cos(3x)))

Lösung

cos^{3} (x) = \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

Lösung

x = 0.88929 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.88929 \dots + 2 πn, x = 2.25229 \dots + 2 πn, x = - 2.25229 \dots + 2 πn

Grad

x = 50.95278 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 309.04721 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 129.04721 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 129.04721 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{3} (x) = \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

Subtrahiere

\frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

von beiden Seiten

cos^{3} (x) - \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )} = 0

Vereinfache

cos^{3} (x) - \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )} : \frac{4 cos ^{3} ( x ) ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) ) - 1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

cos^{3} (x) - \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos^{3} (x) = \frac{cos ^{3} ( x ) 4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

= \frac{cos ^{3} ( x ) \cdot 4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )} - \frac{1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{3} ( x ) \cdot 4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) ) - 1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )}

\frac{4 cos ^{3} ( x ) ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) ) - 1}{4 ( 3 cos ( x ) + cos ( 3 x ) )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos^{3} (x) (3 cos (x) + cos (3 x)) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + (cos (3 x) + 3 cos (x)) \cdot 4 cos^{3} (x)

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

cos (3 x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (3 x)

Schreibe um

= cos (2 x + x)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

Vereinfache

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Multipliziere aus

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

= cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) - 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= cos (x) 2 cos^{2} (x) - cos (x) 1

= 2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

Vereinfache

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 cos (x)

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Multipliziere aus

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) 1 - (- 2 cos (x)) cos^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

Vereinfache

- 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 cos (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Vereinfache

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) = 4 cos^{3} (x)

= 4 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

- cos (x) - 2 cos (x) = - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= - 1 + 4 cos^{3} (x) (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) + 3 cos (x))

4 cos^{3} (x) (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) + 3 cos (x)) = 16 cos^{6} (x)

4 cos^{3} (x) (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) + 3 cos (x))

Addiere gleiche Elemente:

- 3 cos (x) + 3 cos (x) = 0

= 4 \cdot 4 cos^{3} (x) cos^{3} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 = 16

= 16 cos^{3} (x) cos^{3} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{3} (x) cos^{3} (x) = cos^{3 + 3} (x)

= 16 cos^{3 + 3} (x)

Addiere die Zahlen:

3 + 3 = 6

= 16 cos^{6} (x)

= - 1 + 16 cos^{6} (x)

- 1 + 16 cos^{6} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + 16 cos^{6} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = w

- 1 + 16 w^{6} = 0

- 1 + 16 w^{6} = 0 : w = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}, w = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}, w = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, w = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i, w = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, w = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

- 1 + 16 w^{6} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + 16 w^{6} = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + 16 w^{6} + 1 = 0 + 1

Vereinfache

16 w^{6} = 1

16 w^{6} = 1

Teile beide Seiten durch

16

16 w^{6} = 1

Teile beide Seiten durch

16

\frac{16 w ^{6}}{16} = \frac{1}{16}

Vereinfache

w^{6} = \frac{1}{16}

w^{6} = \frac{1}{16}

Schreibe die Gleichung um mit

u = w^{2}

und

u^{3} = w^{6}

u^{3} = \frac{1}{16}

Löse

u^{3} = \frac{1}{16} : u = 3 \frac{1}{16}, u = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 + 3 i}{2}, u = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 - 3 i}{2}

u^{3} = \frac{1}{16}

Für

g^{3} (x) = f (a)

sind die Lösungen

g (x) = 3 f (a), 3 f (a) \frac{- 1 - 3 i}{2}, 3 f (a) \frac{- 1 + 3 i}{2}

u = 3 \frac{1}{16}, u = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 + 3 i}{2}, u = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 - 3 i}{2}

u = 3 \frac{1}{16}, u = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 + 3 i}{2}, u = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 - 3 i}{2}

Setze

u = w^{2} w i e d er e in,

löse für

w

Löse

w^{2} = 3 \frac{1}{16} : w = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}, w = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

w^{2} = 3 \frac{1}{16}

Vereinfache

3 \frac{1}{16} : \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

3 \frac{1}{16}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3 1}{3 16}

316 = 232

316

Primfaktorzerlegung von

16 : 2^{4}

16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{4}

= 3 2^{4}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3 2^{3} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 32 3 2^{3}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3 2^{3} = 2

= 232

= \frac{3 1}{2 3 2}

Wende Regel an

n 1 = 1

31 = 1

= \frac{1}{2 3 2}

Rationalisiere

\frac{1}{2 3 2} : \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

\frac{1}{2 3 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

= \frac{1 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{2 3 2 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}

1 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}

232 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 4

232 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} 32 = 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

= 2^{1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Füge

1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}

zusammen:

2

1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1}{1}

= \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1, 3, 3 : 3

1, 3, 3

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

1

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Berechne eine Zahl, die aus Faktoren besteht, welche in mindestens einem der folgenden Elemente auftaucht:

1, 3, 3

= 3

Multipliziere die Zahlen:

3 = 3

= 3

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

3

Für

\frac{1}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{1}{1} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 3} = \frac{3}{3}

= \frac{3}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 + 2 + 1}{3}

Addiere die Zahlen:

3 + 2 + 1 = 6

= \frac{6}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{3} = 2

= 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

w^{2} = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

w = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}, w = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4} = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4} : \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

w = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}, w = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Löse

w^{2} = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 + 3 i}{2} : w = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, w = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

w^{2} = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 + 3 i}{2}

Ersetze

w = u + v i

(u + v i)^{2} = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 + 3 i}{2}

Schreibe um

(u + v i)^{2} = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 + 3 i}{2}

Schreibe

(u + v i)^{2}

um:

(u^{2} - v^{2}) + 2 i uv

(u + v i)^{2}

= (u + i v)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = u, b = v i

= u^{2} + 2 uv i + (v i)^{2}

(v i)^{2} = - v^{2}

(v i)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} v^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) v^{2}

Fasse zusammen

= - v^{2}

= u^{2} + 2 i uv - v^{2}

Schreibe

u^{2} + 2 i uv - v^{2}

in der Standard komplexen Form um:

(u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

u^{2} + 2 i uv - v^{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

= (u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

Schreibe

3 \frac{1}{16} \frac{- 1 + 3 i}{2}

um:

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} + i \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

3 \frac{1}{16} \frac{- 1 + 3 i}{2}

3 \frac{1}{16} = \frac{1}{2 3 2}

3 \frac{1}{16}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3 1}{3 16}

316 = 232

316

Primfaktorzerlegung von

16 : 2^{4}

16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{4}

= 3 2^{4}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3 2^{3} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 32 3 2^{3}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3 2^{3} = 2

= 232

= \frac{3 1}{2 3 2}

Wende Regel an

n 1 = 1

31 = 1

= \frac{1}{2 3 2}

= \frac{1}{2 3 2} \cdot \frac{- 1 + 3 i}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 + 3 i )}{2 3 2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 + 3 i) = - 1 + 3 i

1 \cdot (- 1 + 3 i)

Multipliziere:

1 \cdot (- 1 + 3 i) = (- 1 + 3 i)

= (- 1 + 3 i)

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 1 + 3 i

= \frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 2 3 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 + 3 i}{4 3 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{4 3 2} = - \frac{1}{4 3 2} + \frac{3 i}{4 3 2}

= - \frac{1}{4 3 2} + \frac{3 i}{4 3 2}

Schreibe

- \frac{1}{4 3 2} + \frac{3 i}{4 3 2}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} + \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

- \frac{1}{4 3 2} + \frac{3 i}{4 3 2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 + 3 i}{4 3 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{4 3 2} = - \frac{1}{4 3 2} + \frac{3 i}{4 3 2}

= - \frac{1}{4 3 2} + \frac{3 i}{4 3 2}

\frac{3}{4 3 2} = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

\frac{3}{4 3 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{4 3 2 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}

432 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 8

432 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} 32 = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

= 4 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2}{3} + \frac{1}{3} : 1

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Wende Regel an

a^{1} = a

= 2

= 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

= - \frac{1}{4 3 2} + \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

- \frac{1}{4 3 2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

- \frac{1}{4 3 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

= - \frac{1 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{4 3 2 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}

1 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}

432 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 8

432 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} 32 = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

= 4 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2}{3} + \frac{1}{3} : 1

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Wende Regel an

a^{1} = a

= 2

= 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} + \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} + \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

(u^{2} - v^{2}) + 2 i uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} + i \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

(u^{2} - v^{2}) + 2 i uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} + i \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} 2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}]

[u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} 2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}] : (u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots v = - 0.54556 \dots)

[u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} 2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}]

Stelle

u

nach

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

um:

u = \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 uv = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 v

2 uv = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 v

\frac{2 uv}{2 v} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Vereinfache

\frac{2 uv}{2 v} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Vereinfache

\frac{2 uv}{2 v} : u

\frac{2 uv}{2 v}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{uv}{v}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

v

= u

Vereinfache

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v} : \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b \cdot c}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 2 v}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2 = 2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2 = 2^{\frac{7}{3} + 1}

= 2^{\frac{7}{3} + 1}

\frac{7}{3} + 1 = \frac{10}{3}

\frac{7}{3} + 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 3}{3}

= \frac{7}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{7 + 1 \cdot 3}{3}

7 + 1 \cdot 3 = 10

7 + 1 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= 7 + 3

Addiere die Zahlen:

7 + 3 = 10

= 10

= \frac{10}{3}

= 2^{\frac{10}{3}}

= \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

Setze die Lösungen

u = \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

ein

Für

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

, ersetze

u

mit

\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v} : v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Für

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

, ersetze

u

mit

\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Löse

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} : v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Vereinfache

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} : \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2}

\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v} = \frac{3}{2 ^{3} 3 2 v}

\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

2^{\frac{10}{3}} = 2^{3} 32

2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{10}{3}} = 2^{3 + \frac{1}{3}}

= 2^{3 + \frac{1}{3}}

Wende Exponentenregel an:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{3} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Fasse zusammen

= 2^{3} 32

= \frac{3}{2 ^{3} 3 2 v}

= (\frac{3}{2 ^{3} 3 2 v})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 2 ^{3} 3 2 v ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(2^{3} 32 v)^{2} = (2^{3})^{2} (32)^{2} v^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 2 ^{3} ) ^{2} ( 3 2 ) ^{2} v ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{( 2 ^{3} ) ^{2} ( 3 2 ) ^{2} v ^{2}}

(2^{3})^{2} : 2^{6}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= 2^{6}

= \frac{3}{2 ^{6} ( 3 2 ) ^{2} v ^{2}}

(32)^{2} : 2^{\frac{2}{3}}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (2^{\frac{1}{3}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= 2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = 2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{6 + \frac{2}{3}}

= 2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}

= \frac{3}{2 ^{\frac{2}{3} + 6} v ^{2}}

2^{6 + \frac{2}{3}} = 2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}}

2^{6 + \frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}, 8 : 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}, 8

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

64, 8 : 64

64, 8

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

64 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

64

64

ist durch

264 = 32 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

8 : 2 \cdot 2 \cdot 2

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

64

oder

8

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64

= 64

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

oder

8

auftauchen.

= 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} - v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Vereinfache

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} - v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Vereinfache

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} : 3

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 64 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3 \cdot 64 v ^{2}}{2 ^{6} v ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

v^{2}

= \frac{3 \cdot 64}{2 ^{6}}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 64 = 192

= \frac{192}{2 ^{6}}

Faktorisiere

192 : 2^{6} \cdot 3

Faktorisiere

192 = 2^{6} \cdot 3

= \frac{2 ^{6} \cdot 3}{2 ^{6}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2^{6}

= 3

Vereinfache

- v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} : - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4}

- v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

v^{2} v^{2} = v^{2 + 2}

= - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4}

Vereinfache

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} : - 1632 v^{2}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}{8}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = 64 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}

= 64 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} v^{2}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{2}{3}

= 64 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

= - \frac{64 \cdot 2 ^{2 \cdot \frac{2}{3}} v ^{2}}{8}

Teile die Zahlen:

\frac{64}{8} = 8

= - 8 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

2^{2 \cdot \frac{2}{3}} = 232

2^{2 \cdot \frac{2}{3}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{2}{3} : \frac{4}{3}

2 \cdot \frac{2}{3}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 \cdot 2}{3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{3}

= 2^{\frac{4}{3}}

2^{\frac{4}{3}} = 2^{1 + \frac{1}{3}}

= 2^{1 + \frac{1}{3}}

Wende Exponentenregel an:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Fasse zusammen

= 232

= - 8 \cdot 232 v^{2}

Multipliziere die Zahlen:

8 \cdot 2 = 16

= - 1632 v^{2}

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2}

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2}

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2}

Löse

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2} : v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2}

Verschiebe

1632 v^{2}

auf die linke Seite

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2}

Füge

1632 v^{2}

zu beiden Seiten hinzu

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} + 1632 v^{2} = - 1632 v^{2} + 1632 v^{2}

Vereinfache

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} + 1632 v^{2} = 0

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} + 1632 v^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} + 1632 v^{2} + 3 = 0

Bestimme eine Lösung für

- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3 = 0

nach dem Newton-Raphson-Verfahren:

v \approx 0.54556 \dots

- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3 = 0

Definition Newton-Raphson-Verfahren

f (v) = - 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3

Finde

f^{^{'}} (v) : - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3)

Wende die Summen-/Differenzregel an:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4}) + \frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2}) + \frac{d}{d v} (3)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4}) = 406.37466 \dots v^{3}

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4})

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{4})

Wende die Potenzregel an:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 4 v^{4 - 1}

Vereinfache

= 406.37466 \dots v^{3}

\frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2}) = 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2})

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 20.15873 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Wende die Potenzregel an:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 20.15873 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Vereinfache

= 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (3) = 0

\frac{d}{d v} (3)

Ableitung einer Konstanten:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v + 0

Vereinfache

= - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v

Angenommen

v_{0} = 1

Berechne

v_{n + 1}

bis

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = 0.78573 \dots : Δ v_{1} = 0.21426 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots \cdot 1^{4} + 20.15873 \dots \cdot 1^{2} + 3 = - 78.43493 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 406.37466 \dots \cdot 1^{3} + 40.31747 \dots \cdot 1 = - 366.05719 \dots

v_{1} = 0.78573 \dots

Δ v_{1} = ∣ 0.78573 \dots - 1 ∣ = 0.21426 \dots

Δ v_{1} = 0.21426 \dots

v_{2} = 0.64504 \dots : Δ v_{2} = 0.14068 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.78573 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.78573 \dots^{2} + 3 = - 23.27682 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.78573 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.78573 \dots = - 165.44887 \dots

v_{2} = 0.64504 \dots

Δ v_{2} = ∣ 0.64504 \dots - 0.78573 \dots ∣ = 0.14068 \dots

Δ v_{2} = 0.14068 \dots

v_{3} = 0.57039 \dots : Δ v_{3} = 0.07465 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.64504 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.64504 \dots^{2} + 3 = - 6.20040 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.64504 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.64504 \dots = - 83.05958 \dots

v_{3} = 0.57039 \dots

Δ v_{3} = ∣ 0.57039 \dots - 0.64504 \dots ∣ = 0.07465 \dots

Δ v_{3} = 0.07465 \dots

v_{4} = 0.54759 \dots : Δ v_{4} = 0.02280 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.57039 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.57039 \dots^{2} + 3 = - 1.19513 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.57039 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.57039 \dots = - 52.41610 \dots

v_{4} = 0.54759 \dots

Δ v_{4} = ∣ 0.54759 \dots - 0.57039 \dots ∣ = 0.02280 \dots

Δ v_{4} = 0.02280 \dots

v_{5} = 0.54557 \dots : Δ v_{5} = 0.00201 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54759 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54759 \dots^{2} + 3 = - 0.08990 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54759 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54759 \dots = - 44.64836 \dots

v_{5} = 0.54557 \dots

Δ v_{5} = ∣ 0.54557 \dots - 0.54759 \dots ∣ = 0.00201 \dots

Δ v_{5} = 0.00201 \dots

v_{6} = 0.54556 \dots : Δ v_{6} = 0.00001 \dots

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54557 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54557 \dots^{2} + 3 = - 0.00065 \dots

f^{^{'}} (v_{5}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54557 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54557 \dots = - 43.99616 \dots

v_{6} = 0.54556 \dots

Δ v_{6} = ∣ 0.54556 \dots - 0.54557 \dots ∣ = 0.00001 \dots

Δ v_{6} = 0.00001 \dots

v_{7} = 0.54556 \dots : Δ v_{7} = 8.18838 E - 10

f (v_{6}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54556 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54556 \dots^{2} + 3 = - 3.60218 E - 8

f^{^{'}} (v_{6}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54556 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54556 \dots = - 43.99134 \dots

v_{7} = 0.54556 \dots

Δ v_{7} = ∣ 0.54556 \dots - 0.54556 \dots ∣ = 8.18838 E - 10

Δ v_{7} = 8.18838 E - 10

v \approx 0.54556 \dots

Wende die schriftliche Division an:

\frac{- 64 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{4} + 16 3 2 v ^{2} + 3}{v - 0.54556 \dots} = - 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots \approx 0

Bestimme eine Lösung für

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots = 0

nach dem Newton-Raphson-Verfahren:

v \approx - 0.54556 \dots

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots = 0

Definition Newton-Raphson-Verfahren

f (v) = - 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots

Finde

f^{^{'}} (v) : - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots)

Wende die Summen-/Differenzregel an:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3}) - \frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2}) - \frac{d}{d v} (10.07936 \dots v) - \frac{d}{d v} (5.49891 \dots)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3}) = 304.78100 \dots v^{2}

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3})

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{3})

Wende die Potenzregel an:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 3 v^{3 - 1}

Vereinfache

= 304.78100 \dots v^{2}

\frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2}) = 110.85125 \dots v

\frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2})

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 55.42562 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Wende die Potenzregel an:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 55.42562 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Vereinfache

= 110.85125 \dots v

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots v) = 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots v)

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 10.07936 \dots \frac{d v}{d v}

Wende die allgemeine Ableitungsregel an:

\frac{d v}{d v} = 1

= 10.07936 \dots \cdot 1

Vereinfache

= 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (5.49891 \dots) = 0

\frac{d}{d v} (5.49891 \dots)

Ableitung einer Konstanten:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots - 0

Vereinfache

= - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots

Angenommen

v_{0} = - 1

Berechne

v_{n + 1}

bis

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = - 0.75124 \dots : Δ v_{1} = 0.24875 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots (- 1)^{3} - 55.42562 \dots (- 1)^{2} - 10.07936 \dots (- 1) - 5.49891 \dots = 50.74849 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 304.78100 \dots (- 1)^{2} - 110.85125 \dots (- 1) - 10.07936 \dots = - 204.00911 \dots

v_{1} = - 0.75124 \dots

Δ v_{1} = ∣ - 0.75124 \dots - (- 1) ∣ = 0.24875 \dots

Δ v_{1} = 0.24875 \dots

v_{2} = - 0.61091 \dots : Δ v_{2} = 0.14032 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots (- 0.75124 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.75124 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.75124 \dots) - 5.49891 \dots = 13.86617 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 304.78100 \dots (- 0.75124 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.75124 \dots) - 10.07936 \dots = - 98.81153 \dots

v_{2} = - 0.61091 \dots

Δ v_{2} = ∣ - 0.61091 \dots - (- 0.75124 \dots) ∣ = 0.14032 \dots

Δ v_{2} = 0.14032 \dots

v_{3} = - 0.55501 \dots : Δ v_{3} = 0.05590 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots (- 0.61091 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.61091 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.61091 \dots) - 5.49891 \dots = 3.13665 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 304.78100 \dots (- 0.61091 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.61091 \dots) - 10.07936 \dots = - 56.10803 \dots

v_{3} = - 0.55501 \dots

Δ v_{3} = ∣ - 0.55501 \dots - (- 0.61091 \dots) ∣ = 0.05590 \dots

Δ v_{3} = 0.05590 \dots

v_{4} = - 0.54579 \dots : Δ v_{4} = 0.00921 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots (- 0.55501 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.55501 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.55501 \dots) - 5.49891 \dots = 0.39093 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 304.78100 \dots (- 0.55501 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.55501 \dots) - 10.07936 \dots = - 42.43951 \dots

v_{4} = - 0.54579 \dots

Δ v_{4} = ∣ - 0.54579 \dots - (- 0.55501 \dots) ∣ = 0.00921 \dots

Δ v_{4} = 0.00921 \dots

v_{5} = - 0.54556 \dots : Δ v_{5} = 0.00023 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots (- 0.54579 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.54579 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.54579 \dots) - 5.49891 \dots = 0.00957 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 304.78100 \dots (- 0.54579 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.54579 \dots) - 10.07936 \dots = - 40.37008 \dots

v_{5} = - 0.54556 \dots

Δ v_{5} = ∣ - 0.54556 \dots - (- 0.54579 \dots) ∣ = 0.00023 \dots

Δ v_{5} = 0.00023 \dots

v_{6} = - 0.54556 \dots : Δ v_{6} = 1.54611 E - 7

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots (- 0.54556 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.54556 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.54556 \dots) - 5.49891 \dots = 6.23352 E - 6

f^{^{'}} (v_{5}) = - 304.78100 \dots (- 0.54556 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.54556 \dots) - 10.07936 \dots = - 40.31750 \dots

v_{6} = - 0.54556 \dots

Δ v_{6} = ∣ - 0.54556 \dots - (- 0.54556 \dots) ∣ = 1.54611 E - 7

Δ v_{6} = 1.54611 E - 7

v \approx - 0.54556 \dots

Wende die schriftliche Division an:

\frac{- 101.59366 \dots v ^{3} - 55.42562 \dots v ^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots}{v + 0.54556 \dots} = - 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots \approx 0

Bestimme eine Lösung für

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots = 0

nach dem Newton-Raphson-Verfahren:

Keine Lösung für

v \in R

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots = 0

Definition Newton-Raphson-Verfahren

f (v) = - 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots

Finde

f^{^{'}} (v) : - 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots)

Wende die Summen-/Differenzregel an:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2}) - \frac{d}{d v} (10.07936 \dots)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2}) = 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2})

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Wende die Potenzregel an:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Vereinfache

= 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots) = 0

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots)

Ableitung einer Konstanten:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 203.18733 \dots v - 0

Vereinfache

= - 203.18733 \dots v

Angenommen

v_{0} = - 1

Berechne

v_{n + 1}

bis

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = - 0.45039 \dots : Δ v_{1} = 0.54960 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots (- 1)^{2} - 10.07936 \dots = - 111.67303 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 203.18733 \dots (- 1) = 203.18733 \dots

v_{1} = - 0.45039 \dots

Δ v_{1} = ∣ - 0.45039 \dots - (- 1) ∣ = 0.54960 \dots

Δ v_{1} = 0.54960 \dots

v_{2} = - 0.11505 \dots : Δ v_{2} = 0.33533 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots (- 0.45039 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 30.68810 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 203.18733 \dots (- 0.45039 \dots) = 91.51429 \dots

v_{2} = - 0.11505 \dots

Δ v_{2} = ∣ - 0.11505 \dots - (- 0.45039 \dots) ∣ = 0.33533 \dots

Δ v_{2} = 0.33533 \dots

v_{3} = 0.37361 \dots : Δ v_{3} = 0.48867 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots (- 0.11505 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 11.42427 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 203.18733 \dots (- 0.11505 \dots) = 23.37813 \dots

v_{3} = 0.37361 \dots

Δ v_{3} = ∣ 0.37361 \dots - (- 0.11505 \dots) ∣ = 0.48867 \dots

Δ v_{3} = 0.48867 \dots

v_{4} = 0.05403 \dots : Δ v_{4} = 0.31958 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.37361 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 24.26076 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.37361 \dots = - 75.91416 \dots

v_{4} = 0.05403 \dots

Δ v_{4} = ∣ 0.05403 \dots - 0.37361 \dots ∣ = 0.31958 \dots

Δ v_{4} = 0.31958 \dots

v_{5} = - 0.89102 \dots : Δ v_{5} = 0.94505 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.05403 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 10.37600 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.05403 \dots = - 10.97924 \dots

v_{5} = - 0.89102 \dots

Δ v_{5} = ∣ - 0.89102 \dots - 0.05403 \dots ∣ = 0.94505 \dots

Δ v_{5} = 0.94505 \dots

v_{6} = - 0.38983 \dots : Δ v_{6} = 0.50118 \dots

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots (- 0.89102 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 90.73642 \dots

f^{^{'}} (v_{5}) = - 203.18733 \dots (- 0.89102 \dots) = 181.04414 \dots

v_{6} = - 0.38983 \dots

Δ v_{6} = ∣ - 0.38983 \dots - (- 0.89102 \dots) ∣ = 0.50118 \dots

Δ v_{6} = 0.50118 \dots

v_{7} = - 0.06766 \dots : Δ v_{7} = 0.32216 \dots

f (v_{6}) = - 101.59366 \dots (- 0.38983 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 25.51884 \dots

f^{^{'}} (v_{6}) = - 203.18733 \dots (- 0.38983 \dots) = 79.20991 \dots

v_{7} = - 0.06766 \dots

Δ v_{7} = ∣ - 0.06766 \dots - (- 0.38983 \dots) ∣ = 0.32216 \dots

Δ v_{7} = 0.32216 \dots

v_{8} = 0.69923 \dots : Δ v_{8} = 0.76690 \dots

f (v_{7}) = - 101.59366 \dots (- 0.06766 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 10.54458 \dots

f^{^{'}} (v_{7}) = - 203.18733 \dots (- 0.06766 \dots) = 13.74960 \dots

v_{8} = 0.69923 \dots

Δ v_{8} = ∣ 0.69923 \dots - (- 0.06766 \dots) ∣ = 0.76690 \dots

Δ v_{8} = 0.76690 \dots

v_{9} = 0.27867 \dots : Δ v_{9} = 0.42055 \dots

f (v_{8}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.69923 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 59.75094 \dots

f^{^{'}} (v_{8}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.69923 \dots = - 142.07487 \dots

v_{9} = 0.27867 \dots

Δ v_{9} = ∣ 0.27867 \dots - 0.69923 \dots ∣ = 0.42055 \dots

Δ v_{9} = 0.42055 \dots

v_{10} = - 0.03867 \dots : Δ v_{10} = 0.31734 \dots

f (v_{9}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.27867 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 17.96890 \dots

f^{^{'}} (v_{9}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.27867 \dots = - 56.62250 \dots

v_{10} = - 0.03867 \dots

Δ v_{10} = ∣ - 0.03867 \dots - 0.27867 \dots ∣ = 0.31734 \dots

Δ v_{10} = 0.31734 \dots

v_{11} = 1.26333 \dots : Δ v_{11} = 1.30200 \dots

f (v_{10}) = - 101.59366 \dots (- 0.03867 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 10.23132 \dots

f^{^{'}} (v_{10}) = - 203.18733 \dots (- 0.03867 \dots) = 7.85811 \dots

v_{11} = 1.26333 \dots

Δ v_{11} = ∣ 1.26333 \dots - (- 0.03867 \dots) ∣ = 1.30200 \dots

Δ v_{11} = 1.30200 \dots

Kann keine Lösung finden

Die Lösungen sind

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

v = 0

Nimm den/die Nenner von

(\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2}

und vergleiche mit Null

Löse

2^{\frac{10}{3}} v = 0 : v = 0

2^{\frac{10}{3}} v = 0

Teile beide Seiten durch

2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{10}{3}} v = 0

Teile beide Seiten durch

2^{\frac{10}{3}}

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} = \frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} = \frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} : v

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2^{\frac{10}{3}}

= v

Vereinfache

\frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}} : 0

\frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0

a \neq = 0

= 0

v = 0

v = 0

v = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

v = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Setze die Lösungen

v = 0.54556 \dots, v = - 0.54556 \dots

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

ein

Für

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, ersetze

v

mit

0.54556 \dots : u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

Für

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, ersetze

v

mit

0.54556 \dots

2 u \cdot 0.54556 \dots = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Löse

2 u 0.54556 \dots = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

2 u \cdot 0.54556 \dots = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 u \cdot 0.54556 \dots = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 \cdot 0.54556 \dots

2 u \cdot 0.54556 \dots = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 \cdot 0.54556 \dots

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Vereinfache

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Vereinfache

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} : u

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{u \cdot 0.54556 \dots}{0.54556 \dots}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

0.54556 \dots

= u

Vereinfache

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots} : \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 0.54556 \dots = 1.09112 \dots

= \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2} 32

2^{\frac{7}{3}}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2 + \frac{1}{3}}

= 2^{2 + \frac{1}{3}}

Wende Exponentenregel an:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Fasse zusammen

= 2^{2} 32

= \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

Für

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, ersetze

v

mit

- 0.54556 \dots : u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

Für

2 uv = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, ersetze

v

mit

- 0.54556 \dots

2 u (- 0.54556 \dots) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Löse

2 u (- 0.54556 \dots) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

2 u (- 0.54556 \dots) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 u (- 0.54556 \dots) = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 (- 0.54556 \dots)

2 u (- 0.54556 \dots) = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 (- 0.54556 \dots)

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Vereinfache

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} = \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Vereinfache

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} : u

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Multipliziere die Zahlen:

2 (- 0.54556 \dots) = - 1.09112 \dots

= \frac{- 1.09112 \dots u}{- 1.09112 \dots}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- 1.09112 \dots

= u

Vereinfache

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )} : - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{- 2 \cdot 0.54556 \dots}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 0.54556 \dots = 1.09112 \dots

= \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{- 1.09112 \dots}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots} = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2} 32

2^{\frac{7}{3}}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2 + \frac{1}{3}}

= 2^{2 + \frac{1}{3}}

Wende Exponentenregel an:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Fasse zusammen

= 2^{2} 32

= - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

Verifiziere die Lösungen, in dem du sie in die Original-Gleichungen einsetzt.

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = - 0.54556 \dots :

Wahr

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Setze ein

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = - 0.54556 \dots

(- \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots})^{2} - (- 0.54556 \dots)^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Fasse zusammen

\frac{3 3 2}{38.09762 \dots} - 0.29763 \dots = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Wahr

Überprüfe die Lösung

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots :

Wahr

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Setze ein

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots

(\frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots})^{2} - 0.54556 \dots^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Fasse zusammen

\frac{3 3 2}{38.09762 \dots} - 0.29763 \dots = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = - 0.54556 \dots :

Wahr

2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Setze ein

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = - 0.54556 \dots

2 (- \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}) (- 0.54556 \dots) = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Fasse zusammen

\frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 0.54556 \dots}{4.36449 \dots} = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Wahr

Überprüfe die Lösung

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots :

Wahr

2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Setze ein

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots

2 \cdot \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} \cdot 0.54556 \dots = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Fasse zusammen

\frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 0.54556 \dots}{4.36449 \dots} = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Wahr

Deshalb sind die finalen Lösungen für

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}, 2 uv = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

(u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots v = - 0.54556 \dots)

Setze in

w = u + v i

ein

w = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, w = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

Löse

w^{2} = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 - 3 i}{2} : w = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, w = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

w^{2} = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 - 3 i}{2}

Ersetze

w = u + v i

(u + v i)^{2} = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 - 3 i}{2}

Schreibe um

(u + v i)^{2} = 3 \frac{1}{16} \frac{- 1 - 3 i}{2}

Schreibe

(u + v i)^{2}

um:

(u^{2} - v^{2}) + 2 i uv

(u + v i)^{2}

= (u + i v)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = u, b = v i

= u^{2} + 2 uv i + (v i)^{2}

(v i)^{2} = - v^{2}

(v i)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} v^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) v^{2}

Fasse zusammen

= - v^{2}

= u^{2} + 2 i uv - v^{2}

Schreibe

u^{2} + 2 i uv - v^{2}

in der Standard komplexen Form um:

(u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

u^{2} + 2 i uv - v^{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

= (u^{2} - v^{2}) + 2 uv i

Schreibe

3 \frac{1}{16} \frac{- 1 - 3 i}{2}

um:

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} - i \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

3 \frac{1}{16} \frac{- 1 - 3 i}{2}

3 \frac{1}{16} = \frac{1}{2 3 2}

3 \frac{1}{16}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3 1}{3 16}

316 = 232

316

Primfaktorzerlegung von

16 : 2^{4}

16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{4}

= 3 2^{4}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3 2^{3} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 32 3 2^{3}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3 2^{3} = 2

= 232

= \frac{3 1}{2 3 2}

Wende Regel an

n 1 = 1

31 = 1

= \frac{1}{2 3 2}

= \frac{1}{2 3 2} \cdot \frac{- 1 - 3 i}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 - 3 i )}{2 3 2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 - 3 i) = - 1 - 3 i

1 \cdot (- 1 - 3 i)

Multipliziere:

1 \cdot (- 1 - 3 i) = (- 1 - 3 i)

= (- 1 - 3 i)

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 1 - 3 i

= \frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 2 3 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 - 3 i}{4 3 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 - 3 i}{4 3 2} = - \frac{1}{4 3 2} - \frac{3 i}{4 3 2}

= - \frac{1}{4 3 2} - \frac{3 i}{4 3 2}

Schreibe

- \frac{1}{4 3 2} - \frac{3 i}{4 3 2}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

- \frac{1}{4 3 2} - \frac{3 i}{4 3 2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 - 3 i}{4 3 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 - 3 i}{4 3 2} = - \frac{1}{4 3 2} - \frac{3 i}{4 3 2}

= - \frac{1}{4 3 2} - \frac{3 i}{4 3 2}

- \frac{3}{4 3 2} = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

- \frac{3}{4 3 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

= - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{4 3 2 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}

432 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 8

432 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} 32 = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

= 4 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2}{3} + \frac{1}{3} : 1

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Wende Regel an

a^{1} = a

= 2

= 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

= - \frac{1}{4 3 2} - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

- \frac{1}{4 3 2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

- \frac{1}{4 3 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

= - \frac{1 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{4 3 2 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}

1 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}

432 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 8

432 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} 32 = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

= 4 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2}{3} + \frac{1}{3} : 1

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Wende Regel an

a^{1} = a

= 2

= 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8} i

(u^{2} - v^{2}) + 2 i uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} - i \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

(u^{2} - v^{2}) + 2 i uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} - i \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} 2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}]

[u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} 2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}] : (u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots v = - 0.54556 \dots)

[u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} 2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}]

Stelle

u

nach

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

um:

u = - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Vereinfache

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 uv = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 v

2 uv = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 v

\frac{2 uv}{2 v} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Vereinfache

\frac{2 uv}{2 v} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Vereinfache

\frac{2 uv}{2 v} : u

\frac{2 uv}{2 v}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{uv}{v}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

v

= u

Vereinfache

\frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v} : - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

\frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b \cdot c}

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 v} = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 2 v}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 2 v}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2 = 2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{7}{3}} \cdot 2 = 2^{\frac{7}{3} + 1}

= 2^{\frac{7}{3} + 1}

\frac{7}{3} + 1 = \frac{10}{3}

\frac{7}{3} + 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 3}{3}

= \frac{7}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{7 + 1 \cdot 3}{3}

7 + 1 \cdot 3 = 10

7 + 1 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= 7 + 3

Addiere die Zahlen:

7 + 3 = 10

= 10

= \frac{10}{3}

= 2^{\frac{10}{3}}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u = - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

Setze die Lösungen

u = - \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

ein

Für

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

, ersetze

u

mit

- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v} : v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Für

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

, ersetze

u

mit

- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Löse

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} : v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Vereinfache

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} : \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2}

\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v} = \frac{3}{2 ^{3} 3 2 v}

\frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v}

2^{\frac{10}{3}} = 2^{3} 32

2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{10}{3}} = 2^{3 + \frac{1}{3}}

= 2^{3 + \frac{1}{3}}

Wende Exponentenregel an:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{3} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Fasse zusammen

= 2^{3} 32

= \frac{3}{2 ^{3} 3 2 v}

= (- \frac{3}{2 ^{3} 3 2 v})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{3}{2 ^{3} 3 2 v})^{2} = (\frac{3}{2 ^{3} 3 2 v})^{2}

= (\frac{3}{2 ^{3} 3 2 v})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 2 ^{3} 3 2 v ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(2^{3} 32 v)^{2} = (2^{3})^{2} (32)^{2} v^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 2 ^{3} ) ^{2} ( 3 2 ) ^{2} v ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{( 2 ^{3} ) ^{2} ( 3 2 ) ^{2} v ^{2}}

(2^{3})^{2} : 2^{6}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= 2^{6}

= \frac{3}{2 ^{6} ( 3 2 ) ^{2} v ^{2}}

(32)^{2} : 2^{\frac{2}{3}}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (2^{\frac{1}{3}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= 2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = 2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{6 + \frac{2}{3}}

= 2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}

= \frac{3}{2 ^{\frac{2}{3} + 6} v ^{2}}

2^{6 + \frac{2}{3}} = 2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}}

2^{6 + \frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{6} \cdot 2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}, 8 : 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

2^{6 + \frac{2}{3}} v^{2}, 8

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

64, 8 : 64

64, 8

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

64 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

64

64

ist durch

264 = 32 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

8 : 2 \cdot 2 \cdot 2

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

64

oder

8

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64

= 64

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

oder

8

auftauchen.

= 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} - v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Vereinfache

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} - v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Vereinfache

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} : 3

\frac{3}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 64 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}{2 ^{6} \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2^{\frac{2}{3}}

= \frac{3 \cdot 64 v ^{2}}{2 ^{6} v ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

v^{2}

= \frac{3 \cdot 64}{2 ^{6}}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 64 = 192

= \frac{192}{2 ^{6}}

Faktorisiere

192 : 2^{6} \cdot 3

Faktorisiere

192 = 2^{6} \cdot 3

= \frac{2 ^{6} \cdot 3}{2 ^{6}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2^{6}

= 3

Vereinfache

- v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} : - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4}

- v^{2} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

v^{2} v^{2} = v^{2 + 2}

= - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4}

Vereinfache

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} : - 1632 v^{2}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{2}}{8}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2} = 64 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}

= 64 \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} v^{2}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{2}{3}

= 64 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

= - \frac{64 \cdot 2 ^{2 \cdot \frac{2}{3}} v ^{2}}{8}

Teile die Zahlen:

\frac{64}{8} = 8

= - 8 \cdot 2^{2 \cdot \frac{2}{3}} v^{2}

2^{2 \cdot \frac{2}{3}} = 232

2^{2 \cdot \frac{2}{3}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{2}{3} : \frac{4}{3}

2 \cdot \frac{2}{3}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 \cdot 2}{3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{3}

= 2^{\frac{4}{3}}

2^{\frac{4}{3}} = 2^{1 + \frac{1}{3}}

= 2^{1 + \frac{1}{3}}

Wende Exponentenregel an:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Fasse zusammen

= 232

= - 8 \cdot 232 v^{2}

Multipliziere die Zahlen:

8 \cdot 2 = 16

= - 1632 v^{2}

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2}

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2}

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2}

Löse

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2} : v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2}

Verschiebe

1632 v^{2}

auf die linke Seite

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} = - 1632 v^{2}

Füge

1632 v^{2}

zu beiden Seiten hinzu

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} + 1632 v^{2} = - 1632 v^{2} + 1632 v^{2}

Vereinfache

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} + 1632 v^{2} = 0

3 - 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} + 1632 v^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 64 \cdot 2^{\frac{2}{3}} v^{4} + 1632 v^{2} + 3 = 0

Bestimme eine Lösung für

- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3 = 0

nach dem Newton-Raphson-Verfahren:

v \approx 0.54556 \dots

- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3 = 0

Definition Newton-Raphson-Verfahren

f (v) = - 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3

Finde

f^{^{'}} (v) : - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{4} + 20.15873 \dots v^{2} + 3)

Wende die Summen-/Differenzregel an:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4}) + \frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2}) + \frac{d}{d v} (3)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4}) = 406.37466 \dots v^{3}

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{4})

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{4})

Wende die Potenzregel an:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 4 v^{4 - 1}

Vereinfache

= 406.37466 \dots v^{3}

\frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2}) = 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (20.15873 \dots v^{2})

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 20.15873 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Wende die Potenzregel an:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 20.15873 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Vereinfache

= 40.31747 \dots v

\frac{d}{d v} (3) = 0

\frac{d}{d v} (3)

Ableitung einer Konstanten:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v + 0

Vereinfache

= - 406.37466 \dots v^{3} + 40.31747 \dots v

Angenommen

v_{0} = 1

Berechne

v_{n + 1}

bis

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = 0.78573 \dots : Δ v_{1} = 0.21426 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots \cdot 1^{4} + 20.15873 \dots \cdot 1^{2} + 3 = - 78.43493 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 406.37466 \dots \cdot 1^{3} + 40.31747 \dots \cdot 1 = - 366.05719 \dots

v_{1} = 0.78573 \dots

Δ v_{1} = ∣ 0.78573 \dots - 1 ∣ = 0.21426 \dots

Δ v_{1} = 0.21426 \dots

v_{2} = 0.64504 \dots : Δ v_{2} = 0.14068 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.78573 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.78573 \dots^{2} + 3 = - 23.27682 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.78573 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.78573 \dots = - 165.44887 \dots

v_{2} = 0.64504 \dots

Δ v_{2} = ∣ 0.64504 \dots - 0.78573 \dots ∣ = 0.14068 \dots

Δ v_{2} = 0.14068 \dots

v_{3} = 0.57039 \dots : Δ v_{3} = 0.07465 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.64504 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.64504 \dots^{2} + 3 = - 6.20040 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.64504 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.64504 \dots = - 83.05958 \dots

v_{3} = 0.57039 \dots

Δ v_{3} = ∣ 0.57039 \dots - 0.64504 \dots ∣ = 0.07465 \dots

Δ v_{3} = 0.07465 \dots

v_{4} = 0.54759 \dots : Δ v_{4} = 0.02280 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.57039 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.57039 \dots^{2} + 3 = - 1.19513 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.57039 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.57039 \dots = - 52.41610 \dots

v_{4} = 0.54759 \dots

Δ v_{4} = ∣ 0.54759 \dots - 0.57039 \dots ∣ = 0.02280 \dots

Δ v_{4} = 0.02280 \dots

v_{5} = 0.54557 \dots : Δ v_{5} = 0.00201 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54759 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54759 \dots^{2} + 3 = - 0.08990 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54759 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54759 \dots = - 44.64836 \dots

v_{5} = 0.54557 \dots

Δ v_{5} = ∣ 0.54557 \dots - 0.54759 \dots ∣ = 0.00201 \dots

Δ v_{5} = 0.00201 \dots

v_{6} = 0.54556 \dots : Δ v_{6} = 0.00001 \dots

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54557 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54557 \dots^{2} + 3 = - 0.00065 \dots

f^{^{'}} (v_{5}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54557 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54557 \dots = - 43.99616 \dots

v_{6} = 0.54556 \dots

Δ v_{6} = ∣ 0.54556 \dots - 0.54557 \dots ∣ = 0.00001 \dots

Δ v_{6} = 0.00001 \dots

v_{7} = 0.54556 \dots : Δ v_{7} = 8.18838 E - 10

f (v_{6}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.54556 \dots^{4} + 20.15873 \dots \cdot 0.54556 \dots^{2} + 3 = - 3.60218 E - 8

f^{^{'}} (v_{6}) = - 406.37466 \dots \cdot 0.54556 \dots^{3} + 40.31747 \dots \cdot 0.54556 \dots = - 43.99134 \dots

v_{7} = 0.54556 \dots

Δ v_{7} = ∣ 0.54556 \dots - 0.54556 \dots ∣ = 8.18838 E - 10

Δ v_{7} = 8.18838 E - 10

v \approx 0.54556 \dots

Wende die schriftliche Division an:

\frac{- 64 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} v ^{4} + 16 3 2 v ^{2} + 3}{v - 0.54556 \dots} = - 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots \approx 0

Bestimme eine Lösung für

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots = 0

nach dem Newton-Raphson-Verfahren:

v \approx - 0.54556 \dots

- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots = 0

Definition Newton-Raphson-Verfahren

f (v) = - 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots

Finde

f^{^{'}} (v) : - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{3} - 55.42562 \dots v^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots)

Wende die Summen-/Differenzregel an:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3}) - \frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2}) - \frac{d}{d v} (10.07936 \dots v) - \frac{d}{d v} (5.49891 \dots)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3}) = 304.78100 \dots v^{2}

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{3})

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{3})

Wende die Potenzregel an:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 3 v^{3 - 1}

Vereinfache

= 304.78100 \dots v^{2}

\frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2}) = 110.85125 \dots v

\frac{d}{d v} (55.42562 \dots v^{2})

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 55.42562 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Wende die Potenzregel an:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 55.42562 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Vereinfache

= 110.85125 \dots v

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots v) = 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots v)

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 10.07936 \dots \frac{d v}{d v}

Wende die allgemeine Ableitungsregel an:

\frac{d v}{d v} = 1

= 10.07936 \dots \cdot 1

Vereinfache

= 10.07936 \dots

\frac{d}{d v} (5.49891 \dots) = 0

\frac{d}{d v} (5.49891 \dots)

Ableitung einer Konstanten:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots - 0

Vereinfache

= - 304.78100 \dots v^{2} - 110.85125 \dots v - 10.07936 \dots

Angenommen

v_{0} = - 1

Berechne

v_{n + 1}

bis

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = - 0.75124 \dots : Δ v_{1} = 0.24875 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots (- 1)^{3} - 55.42562 \dots (- 1)^{2} - 10.07936 \dots (- 1) - 5.49891 \dots = 50.74849 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 304.78100 \dots (- 1)^{2} - 110.85125 \dots (- 1) - 10.07936 \dots = - 204.00911 \dots

v_{1} = - 0.75124 \dots

Δ v_{1} = ∣ - 0.75124 \dots - (- 1) ∣ = 0.24875 \dots

Δ v_{1} = 0.24875 \dots

v_{2} = - 0.61091 \dots : Δ v_{2} = 0.14032 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots (- 0.75124 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.75124 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.75124 \dots) - 5.49891 \dots = 13.86617 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 304.78100 \dots (- 0.75124 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.75124 \dots) - 10.07936 \dots = - 98.81153 \dots

v_{2} = - 0.61091 \dots

Δ v_{2} = ∣ - 0.61091 \dots - (- 0.75124 \dots) ∣ = 0.14032 \dots

Δ v_{2} = 0.14032 \dots

v_{3} = - 0.55501 \dots : Δ v_{3} = 0.05590 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots (- 0.61091 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.61091 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.61091 \dots) - 5.49891 \dots = 3.13665 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 304.78100 \dots (- 0.61091 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.61091 \dots) - 10.07936 \dots = - 56.10803 \dots

v_{3} = - 0.55501 \dots

Δ v_{3} = ∣ - 0.55501 \dots - (- 0.61091 \dots) ∣ = 0.05590 \dots

Δ v_{3} = 0.05590 \dots

v_{4} = - 0.54579 \dots : Δ v_{4} = 0.00921 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots (- 0.55501 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.55501 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.55501 \dots) - 5.49891 \dots = 0.39093 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 304.78100 \dots (- 0.55501 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.55501 \dots) - 10.07936 \dots = - 42.43951 \dots

v_{4} = - 0.54579 \dots

Δ v_{4} = ∣ - 0.54579 \dots - (- 0.55501 \dots) ∣ = 0.00921 \dots

Δ v_{4} = 0.00921 \dots

v_{5} = - 0.54556 \dots : Δ v_{5} = 0.00023 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots (- 0.54579 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.54579 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.54579 \dots) - 5.49891 \dots = 0.00957 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 304.78100 \dots (- 0.54579 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.54579 \dots) - 10.07936 \dots = - 40.37008 \dots

v_{5} = - 0.54556 \dots

Δ v_{5} = ∣ - 0.54556 \dots - (- 0.54579 \dots) ∣ = 0.00023 \dots

Δ v_{5} = 0.00023 \dots

v_{6} = - 0.54556 \dots : Δ v_{6} = 1.54611 E - 7

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots (- 0.54556 \dots)^{3} - 55.42562 \dots (- 0.54556 \dots)^{2} - 10.07936 \dots (- 0.54556 \dots) - 5.49891 \dots = 6.23352 E - 6

f^{^{'}} (v_{5}) = - 304.78100 \dots (- 0.54556 \dots)^{2} - 110.85125 \dots (- 0.54556 \dots) - 10.07936 \dots = - 40.31750 \dots

v_{6} = - 0.54556 \dots

Δ v_{6} = ∣ - 0.54556 \dots - (- 0.54556 \dots) ∣ = 1.54611 E - 7

Δ v_{6} = 1.54611 E - 7

v \approx - 0.54556 \dots

Wende die schriftliche Division an:

\frac{- 101.59366 \dots v ^{3} - 55.42562 \dots v ^{2} - 10.07936 \dots v - 5.49891 \dots}{v + 0.54556 \dots} = - 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots \approx 0

Bestimme eine Lösung für

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots = 0

nach dem Newton-Raphson-Verfahren:

Keine Lösung für

v \in R

- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots = 0

Definition Newton-Raphson-Verfahren

f (v) = - 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots

Finde

f^{^{'}} (v) : - 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (- 101.59366 \dots v^{2} - 10.07936 \dots)

Wende die Summen-/Differenzregel an:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2}) - \frac{d}{d v} (10.07936 \dots)

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2}) = 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (101.59366 \dots v^{2})

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 101.59366 \dots \frac{d}{d v} (v^{2})

Wende die Potenzregel an:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 101.59366 \dots \cdot 2 v^{2 - 1}

Vereinfache

= 203.18733 \dots v

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots) = 0

\frac{d}{d v} (10.07936 \dots)

Ableitung einer Konstanten:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 203.18733 \dots v - 0

Vereinfache

= - 203.18733 \dots v

Angenommen

v_{0} = - 1

Berechne

v_{n + 1}

bis

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = - 0.45039 \dots : Δ v_{1} = 0.54960 \dots

f (v_{0}) = - 101.59366 \dots (- 1)^{2} - 10.07936 \dots = - 111.67303 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 203.18733 \dots (- 1) = 203.18733 \dots

v_{1} = - 0.45039 \dots

Δ v_{1} = ∣ - 0.45039 \dots - (- 1) ∣ = 0.54960 \dots

Δ v_{1} = 0.54960 \dots

v_{2} = - 0.11505 \dots : Δ v_{2} = 0.33533 \dots

f (v_{1}) = - 101.59366 \dots (- 0.45039 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 30.68810 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 203.18733 \dots (- 0.45039 \dots) = 91.51429 \dots

v_{2} = - 0.11505 \dots

Δ v_{2} = ∣ - 0.11505 \dots - (- 0.45039 \dots) ∣ = 0.33533 \dots

Δ v_{2} = 0.33533 \dots

v_{3} = 0.37361 \dots : Δ v_{3} = 0.48867 \dots

f (v_{2}) = - 101.59366 \dots (- 0.11505 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 11.42427 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 203.18733 \dots (- 0.11505 \dots) = 23.37813 \dots

v_{3} = 0.37361 \dots

Δ v_{3} = ∣ 0.37361 \dots - (- 0.11505 \dots) ∣ = 0.48867 \dots

Δ v_{3} = 0.48867 \dots

v_{4} = 0.05403 \dots : Δ v_{4} = 0.31958 \dots

f (v_{3}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.37361 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 24.26076 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.37361 \dots = - 75.91416 \dots

v_{4} = 0.05403 \dots

Δ v_{4} = ∣ 0.05403 \dots - 0.37361 \dots ∣ = 0.31958 \dots

Δ v_{4} = 0.31958 \dots

v_{5} = - 0.89102 \dots : Δ v_{5} = 0.94505 \dots

f (v_{4}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.05403 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 10.37600 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.05403 \dots = - 10.97924 \dots

v_{5} = - 0.89102 \dots

Δ v_{5} = ∣ - 0.89102 \dots - 0.05403 \dots ∣ = 0.94505 \dots

Δ v_{5} = 0.94505 \dots

v_{6} = - 0.38983 \dots : Δ v_{6} = 0.50118 \dots

f (v_{5}) = - 101.59366 \dots (- 0.89102 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 90.73642 \dots

f^{^{'}} (v_{5}) = - 203.18733 \dots (- 0.89102 \dots) = 181.04414 \dots

v_{6} = - 0.38983 \dots

Δ v_{6} = ∣ - 0.38983 \dots - (- 0.89102 \dots) ∣ = 0.50118 \dots

Δ v_{6} = 0.50118 \dots

v_{7} = - 0.06766 \dots : Δ v_{7} = 0.32216 \dots

f (v_{6}) = - 101.59366 \dots (- 0.38983 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 25.51884 \dots

f^{^{'}} (v_{6}) = - 203.18733 \dots (- 0.38983 \dots) = 79.20991 \dots

v_{7} = - 0.06766 \dots

Δ v_{7} = ∣ - 0.06766 \dots - (- 0.38983 \dots) ∣ = 0.32216 \dots

Δ v_{7} = 0.32216 \dots

v_{8} = 0.69923 \dots : Δ v_{8} = 0.76690 \dots

f (v_{7}) = - 101.59366 \dots (- 0.06766 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 10.54458 \dots

f^{^{'}} (v_{7}) = - 203.18733 \dots (- 0.06766 \dots) = 13.74960 \dots

v_{8} = 0.69923 \dots

Δ v_{8} = ∣ 0.69923 \dots - (- 0.06766 \dots) ∣ = 0.76690 \dots

Δ v_{8} = 0.76690 \dots

v_{9} = 0.27867 \dots : Δ v_{9} = 0.42055 \dots

f (v_{8}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.69923 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 59.75094 \dots

f^{^{'}} (v_{8}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.69923 \dots = - 142.07487 \dots

v_{9} = 0.27867 \dots

Δ v_{9} = ∣ 0.27867 \dots - 0.69923 \dots ∣ = 0.42055 \dots

Δ v_{9} = 0.42055 \dots

v_{10} = - 0.03867 \dots : Δ v_{10} = 0.31734 \dots

f (v_{9}) = - 101.59366 \dots \cdot 0.27867 \dots^{2} - 10.07936 \dots = - 17.96890 \dots

f^{^{'}} (v_{9}) = - 203.18733 \dots \cdot 0.27867 \dots = - 56.62250 \dots

v_{10} = - 0.03867 \dots

Δ v_{10} = ∣ - 0.03867 \dots - 0.27867 \dots ∣ = 0.31734 \dots

Δ v_{10} = 0.31734 \dots

v_{11} = 1.26333 \dots : Δ v_{11} = 1.30200 \dots

f (v_{10}) = - 101.59366 \dots (- 0.03867 \dots)^{2} - 10.07936 \dots = - 10.23132 \dots

f^{^{'}} (v_{10}) = - 203.18733 \dots (- 0.03867 \dots) = 7.85811 \dots

v_{11} = 1.26333 \dots

Δ v_{11} = ∣ 1.26333 \dots - (- 0.03867 \dots) ∣ = 1.30200 \dots

Δ v_{11} = 1.30200 \dots

Kann keine Lösung finden

Die Lösungen sind

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

v = 0

Nimm den/die Nenner von

(- \frac{3}{2 ^{\frac{10}{3}} v})^{2} - v^{2}

und vergleiche mit Null

Löse

2^{\frac{10}{3}} v = 0 : v = 0

2^{\frac{10}{3}} v = 0

Teile beide Seiten durch

2^{\frac{10}{3}}

2^{\frac{10}{3}} v = 0

Teile beide Seiten durch

2^{\frac{10}{3}}

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} = \frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} = \frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}} : v

\frac{2 ^{\frac{10}{3}} v}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2^{\frac{10}{3}}

= v

Vereinfache

\frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}} : 0

\frac{0}{2 ^{\frac{10}{3}}}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0

a \neq = 0

= 0

v = 0

v = 0

v = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

v = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

v \approx 0.54556 \dots, v \approx - 0.54556 \dots

Setze die Lösungen

v = 0.54556 \dots, v = - 0.54556 \dots

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

ein

Für

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, ersetze

v

mit

0.54556 \dots : u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

Für

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, ersetze

v

mit

0.54556 \dots

2 u \cdot 0.54556 \dots = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Löse

2 u 0.54556 \dots = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

2 u \cdot 0.54556 \dots = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Vereinfache

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 u \cdot 0.54556 \dots = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 \cdot 0.54556 \dots

2 u \cdot 0.54556 \dots = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 \cdot 0.54556 \dots

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Vereinfache

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Vereinfache

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots} : u

\frac{2 u \cdot 0.54556 \dots}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{u \cdot 0.54556 \dots}{0.54556 \dots}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

0.54556 \dots

= u

Vereinfache

\frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots} : - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

\frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 \cdot 0.54556 \dots}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 0.54556 \dots = 1.09112 \dots

= \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots} = \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2} 32

2^{\frac{7}{3}}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2 + \frac{1}{3}}

= 2^{2 + \frac{1}{3}}

Wende Exponentenregel an:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Fasse zusammen

= 2^{2} 32

= - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

Für

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, ersetze

v

mit

- 0.54556 \dots : u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

Für

2 uv = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{8}

, ersetze

v

mit

- 0.54556 \dots

2 u (- 0.54556 \dots) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Löse

2 u (- 0.54556 \dots) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

2 u (- 0.54556 \dots) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Vereinfache

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8} : - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

- \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{8}

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

= - \frac{2 ^{\frac{2}{3}} 3}{2 ^{3}}

Vereinfache

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}} : \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{3}}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

= \frac{1}{2 ^{3 - \frac{2}{3}}}

3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

3 - \frac{2}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 = \frac{3 \cdot 3}{3}

= \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 3 - 2}{3}

3 \cdot 3 - 2 = 7

3 \cdot 3 - 2

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 3 = 9

= 9 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 2 = 7

= 7

= \frac{7}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{7}{3}}}

= - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

2 u (- 0.54556 \dots) = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 (- 0.54556 \dots)

2 u (- 0.54556 \dots) = - \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}

Teile beide Seiten durch

2 (- 0.54556 \dots)

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Vereinfache

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} = \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Vereinfache

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )} : u

\frac{2 u ( - 0.54556 \dots )}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Multipliziere die Zahlen:

2 (- 0.54556 \dots) = - 1.09112 \dots

= \frac{- 1.09112 \dots u}{- 1.09112 \dots}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- 1.09112 \dots

= u

Vereinfache

\frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )} : \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

\frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{2 ( - 0.54556 \dots )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{- 2 \cdot 0.54556 \dots}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 0.54556 \dots = 1.09112 \dots

= \frac{- \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{- 1.09112 \dots}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{\frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}}}}{1.09112 \dots}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 ^{\frac{7}{3}} \cdot 1.09112 \dots}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2} 32

2^{\frac{7}{3}}

2^{\frac{7}{3}} = 2^{2 + \frac{1}{3}}

= 2^{2 + \frac{1}{3}}

Wende Exponentenregel an:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}

Fasse zusammen

= 2^{2} 32

= \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}

Verifiziere die Lösungen, in dem du sie in die Original-Gleichungen einsetzt.

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = - 0.54556 \dots :

Wahr

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Setze ein

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = - 0.54556 \dots

(\frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots})^{2} - (- 0.54556 \dots)^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Fasse zusammen

\frac{3 3 2}{38.09762 \dots} - 0.29763 \dots = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Wahr

Überprüfe die Lösung

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots :

Wahr

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Setze ein

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots

(- \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots})^{2} - 0.54556 \dots^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Fasse zusammen

\frac{3 3 2}{38.09762 \dots} - 0.29763 \dots = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = - 0.54556 \dots :

Wahr

2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Setze ein

u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = - 0.54556 \dots

2 \cdot \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} (- 0.54556 \dots) = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Fasse zusammen

- \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 0.54556 \dots}{4.36449 \dots} = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Wahr

Überprüfe die Lösung

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots :

Wahr

2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Setze ein

u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots

2 (- \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}) \cdot 0.54556 \dots = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Fasse zusammen

- \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 0.54556 \dots}{4.36449 \dots} = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

Wahr

Deshalb sind die finalen Lösungen für

u^{2} - v^{2} = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{8}, 2 uv = - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8}

(u = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, u = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots}, v = 0.54556 \dots v = - 0.54556 \dots)

Setze in

w = u + v i

ein

w = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, w = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

Die Lösungen sind

w = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}, w = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}, w = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, w = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i, w = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, w = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

Setze in

w = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}, cos (x) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}, cos (x) = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, cos (x) = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i, cos (x) = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, cos (x) = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

cos (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}, cos (x) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}, cos (x) = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, cos (x) = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i, cos (x) = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i, cos (x) = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

cos (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} : x = arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} : x = arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i

Vereinfache

\frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i : \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} + 0.54556 \dots i

\frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i

2^{2} 32 \cdot 1.09112 \dots = 32 \cdot 4.36449 \dots

2^{2} 32 \cdot 1.09112 \dots

2^{2} = 4

= 432 \cdot 1.09112 \dots

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1.09112 \dots = 4.36449 \dots

= 32 \cdot 4.36449 \dots

= \frac{3}{3 2 \cdot 4.36449 \dots} + 0.54556 \dots i

\frac{3}{4.36449 \dots 3 2} = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

\frac{3}{4.36449 \dots 3 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{4.36449 \dots 3 2 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}

4.36449 \dots 32 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 8.72898 \dots

4.36449 \dots 32 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} 32 = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

= 4.36449 \dots \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2}{3} + \frac{1}{3} : 1

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Wende Regel an

a^{1} = a

= 2

= 2 \cdot 4.36449 \dots

Multipliziere die Zahlen:

4.36449 \dots \cdot 2 = 8.72898 \dots

= 8.72898 \dots

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} + 0.54556 \dots i

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

Vereinfache

- \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i : - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} - 0.54556 \dots i

- \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

2^{2} 32 \cdot 1.09112 \dots = 32 \cdot 4.36449 \dots

2^{2} 32 \cdot 1.09112 \dots

2^{2} = 4

= 432 \cdot 1.09112 \dots

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1.09112 \dots = 4.36449 \dots

= 32 \cdot 4.36449 \dots

= - \frac{3}{3 2 \cdot 4.36449 \dots} - 0.54556 \dots i

\frac{3}{4.36449 \dots 3 2} = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

\frac{3}{4.36449 \dots 3 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{4.36449 \dots 3 2 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}

4.36449 \dots 32 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 8.72898 \dots

4.36449 \dots 32 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} 32 = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

= 4.36449 \dots \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2}{3} + \frac{1}{3} : 1

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Wende Regel an

a^{1} = a

= 2

= 2 \cdot 4.36449 \dots

Multipliziere die Zahlen:

4.36449 \dots \cdot 2 = 8.72898 \dots

= 8.72898 \dots

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

= - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} - 0.54556 \dots i

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i

Vereinfache

- \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i : - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} + 0.54556 \dots i

- \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} + 0.54556 \dots i

2^{2} 32 \cdot 1.09112 \dots = 32 \cdot 4.36449 \dots

2^{2} 32 \cdot 1.09112 \dots

2^{2} = 4

= 432 \cdot 1.09112 \dots

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1.09112 \dots = 4.36449 \dots

= 32 \cdot 4.36449 \dots

= - \frac{3}{3 2 \cdot 4.36449 \dots} + 0.54556 \dots i

\frac{3}{4.36449 \dots 3 2} = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

\frac{3}{4.36449 \dots 3 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{4.36449 \dots 3 2 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}

4.36449 \dots 32 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 8.72898 \dots

4.36449 \dots 32 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} 32 = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

= 4.36449 \dots \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2}{3} + \frac{1}{3} : 1

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Wende Regel an

a^{1} = a

= 2

= 2 \cdot 4.36449 \dots

Multipliziere die Zahlen:

4.36449 \dots \cdot 2 = 8.72898 \dots

= 8.72898 \dots

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

= - \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} + 0.54556 \dots i

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

Vereinfache

\frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i : \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} - 0.54556 \dots i

\frac{3}{2 ^{2} 3 2 \cdot 1.09112 \dots} - 0.54556 \dots i

2^{2} 32 \cdot 1.09112 \dots = 32 \cdot 4.36449 \dots

2^{2} 32 \cdot 1.09112 \dots

2^{2} = 4

= 432 \cdot 1.09112 \dots

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1.09112 \dots = 4.36449 \dots

= 32 \cdot 4.36449 \dots

= \frac{3}{3 2 \cdot 4.36449 \dots} - 0.54556 \dots i

\frac{3}{4.36449 \dots 3 2} = \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

\frac{3}{4.36449 \dots 3 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{4.36449 \dots 3 2 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}

4.36449 \dots 32 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 8.72898 \dots

4.36449 \dots 32 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} 32 = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

= 4.36449 \dots \cdot 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2}{3} + \frac{1}{3} : 1

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Wende Regel an

a^{1} = a

= 2

= 2 \cdot 4.36449 \dots

Multipliziere die Zahlen:

4.36449 \dots \cdot 2 = 8.72898 \dots

= 8.72898 \dots

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots}

= \frac{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{8.72898 \dots} - 0.54556 \dots i

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.88929 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.88929 \dots + 2 πn, x = 2.25229 \dots + 2 πn, x = - 2.25229 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor w,s(t)=Ae^{-ct}cos(wt+θ)

so l v e f or w, s (t) = A e^{- c t} cos (wt + θ)

sqrt(2)=2sin(x)

2 = 2 sin (x)

6sin(pi/4 x)=3

6 sin (\frac{π}{4} x) = 3

sec(x)=3,(3pi)/2 <= x<= 2pi,sin(2x)

sec (x) = 3, \frac{3 π}{2} \leq x \leq 2 π, sin (2 x)

2+8cos(θ)=-1+2cos(θ)

2 + 8 cos (θ) = - 1 + 2 cos (θ)