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Beliebt Trigonometrie >

-1<= 2/(cos(x))<= 1

Lösung

- 1 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

Lösung

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Schritte zur Lösung

- 1 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- 1 \leq \frac{2}{cos ( x )} and \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

- 1 \leq \frac{2}{cos ( x )} : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

- 1 \leq \frac{2}{cos ( x )}

Tausche die Seiten

\frac{2}{cos ( x )} \geq - 1

Rewrite in standard form

\frac{2}{cos ( x )} \geq - 1

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

\frac{2}{cos ( x )} + 1 \geq - 1 + 1

Vereinfache

\frac{2}{cos ( x )} + 1 \geq 0

Vereinfache

\frac{2}{cos ( x )} + 1 : \frac{2 + cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2}{cos ( x )} + 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2}{cos ( x )} + \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{2 + cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 + cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

\frac{2 + cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{2 + cos ( x )}{cos ( x )}

Finde die Vorzeichen von

2 + cos (x)

2 + cos (x) = 0 : cos (x) = - 2

2 + cos (x) = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 + cos (x) = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 + cos (x) - 2 = 0 - 2

Vereinfache

cos (x) = - 2

cos (x) = - 2

2 + cos (x) < 0 : cos (x) < - 2

2 + cos (x) < 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 + cos (x) < 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 + cos (x) - 2 < 0 - 2

Vereinfache

cos (x) < - 2

cos (x) < - 2

2 + cos (x) > 0 : cos (x) > - 2

2 + cos (x) > 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 + cos (x) > 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 + cos (x) - 2 > 0 - 2

Vereinfache

cos (x) > - 2

cos (x) > - 2

Finde die Vorzeichen von

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

cos (x) : cos (x) = 0

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 + cos (x) cos (x) \frac{2 + c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < - 2 - - + cos (x) = - 2 0 - 0 - 2 < cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Unbestimmt cos (x) > 0 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

cos (x) < - 2 or cos (x) = - 2 or cos (x) > 0

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

cos (x) \leq - 2 or cos (x) > 0

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

cos (x) < - 2

oder

cos (x) = - 2

cos (x) \leq - 2

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

cos (x) \leq - 2

oder

cos (x) > 0

cos (x) \leq - 2 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 2 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 2 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 2 :

Falsch für alle

x \in R

cos (x) \leq - 2

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq - 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \leq - 2

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

cos (x) > 0 : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) > 0

Für

cos (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Vereinfache

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R or - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{2}{cos ( x )} \leq 1 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{2}{cos ( x )} \leq 1

Rewrite in standard form

\frac{2}{cos ( x )} \leq 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

\frac{2}{cos ( x )} - 1 \leq 1 - 1

Vereinfache

\frac{2}{cos ( x )} - 1 \leq 0

Vereinfache

\frac{2}{cos ( x )} - 1 : \frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2}{cos ( x )} - 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2}{cos ( x )} - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 - 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

\frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )}

Finde die Vorzeichen von

2 - cos (x)

2 - cos (x) = 0 : cos (x) = 2

2 - cos (x) = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 - cos (x) = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 - cos (x) - 2 = 0 - 2

Vereinfache

- cos (x) = - 2

- cos (x) = - 2

Teile beide Seiten durch

- 1

- cos (x) = - 2

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- cos ( x )}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}

Vereinfache

cos (x) = 2

cos (x) = 2

2 - cos (x) < 0 : cos (x) > 2

2 - cos (x) < 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 - cos (x) < 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 - cos (x) - 2 < 0 - 2

Vereinfache

- cos (x) < - 2

- cos (x) < - 2

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- cos (x) < - 2

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- cos (x)) (- 1) > (- 2) (- 1)

Vereinfache

cos (x) > 2

cos (x) > 2

2 - cos (x) > 0 : cos (x) < 2

2 - cos (x) > 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 - cos (x) > 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 - cos (x) - 2 > 0 - 2

Vereinfache

- cos (x) > - 2

- cos (x) > - 2

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- cos (x) > - 2

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- cos (x)) (- 1) < (- 2) (- 1)

Vereinfache

cos (x) < 2

cos (x) < 2

Finde die Vorzeichen von

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

cos (x) : cos (x) = 0

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 - cos (x) cos (x) \frac{2 - c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Unbestimmt 0 < cos (x) < 2 + + + cos (x) = 2 0 + 0 cos (x) > 2 - + -

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

cos (x) < 0 or cos (x) = 2 or cos (x) > 2

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

cos (x) < 0 or cos (x) = 2 or cos (x) > 2

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

cos (x) < 0

oder

cos (x) = 2

cos (x) < 0 or cos (x) = 2

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

cos (x) < 0 or cos (x) = 2

oder

cos (x) > 2

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 2

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 2

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 2

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

Für

cos (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Vereinfache

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

Vereinfache

2 π - \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

Addiere gleiche Elemente:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) \geq 2 :

Falsch für alle

x \in R

cos (x) \geq 2

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \geq 2

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn and \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Beliebte Beispiele

0<= sin(x)<1

0 \leq sin (x) < 1

-1<sec(x)<1

- 1 < sec (x) < 1

-1<tan(x/2)<-1/5

- 1 < tan (\frac{x}{2}) < - \frac{1}{5}

1<= sin(θ)<3

1 \leq sin (θ) < 3

cos(θ)>0\land sin(θ)<0

cos (θ) > 0 and sin (θ) < 0