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Popolare Trigonometria >

-1<sec(x)<1

Soluzione

- 1 < sec (x) < 1

Soluzione

Falso per tutti x \in R

Fasi della soluzione

- 1 < sec (x) < 1

a < u < b

allora

a < u and u < b

- 1 < sec (x) and sec (x) < 1

- 1 < sec (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

- 1 < sec (x)

Scambia i lati

sec (x) > - 1

Esprimere con sen e cos

sec (x) > - 1

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} > - 1

\frac{1}{cos ( x )} > - 1

Riscrivere in forma standard

\frac{1}{cos ( x )} > - 1

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

\frac{1}{cos ( x )} + 1 > - 1 + 1

Semplificare

\frac{1}{cos ( x )} + 1 > 0

Semplifica

\frac{1}{cos ( x )} + 1 : \frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} + 1

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} + \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Moltiplicare:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )} > 0

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )} > 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

Trova i segni di

1 + cos (x)

1 + cos (x) = 0 : cos (x) = - 1

1 + cos (x) = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + cos (x) = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + cos (x) - 1 = 0 - 1

Semplificare

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1

1 + cos (x) < 0 : cos (x) < - 1

1 + cos (x) < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + cos (x) < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + cos (x) - 1 < 0 - 1

Semplificare

cos (x) < - 1

cos (x) < - 1

1 + cos (x) > 0 : cos (x) > - 1

1 + cos (x) > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + cos (x) > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + cos (x) - 1 > 0 - 1

Semplificare

cos (x) > - 1

cos (x) > - 1

Trova i segni di

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Trova i punti singolari

Trovare gli zeri del denominatore

cos (x) : cos (x) = 0

Riassumere in una tabella:

1 + cos (x) cos (x) \frac{1 + c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < - 1 - - + cos (x) = - 1 0 - 0 - 1 < cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 “ N o n d e f ini t o “ cos (x) > 0 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

cos (x) < - 1 or cos (x) > 0

cos (x) < - 1 or cos (x) > 0

cos (x) < - 1 :

Falso per tutti

x \in R

cos (x) < - 1

Intervallo di

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < - 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falso

Lasciare

y = cos (x)

Combina gli intervalli

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y < - 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso per tutti y \in R

Falso per tutti y \in R

Nessuna soluzione per x \in R

Falso per tutti x \in R

cos (x) > 0 : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) > 0

Per

cos (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

allora

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Semplificare

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Semplificare

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Combina gli intervalli

Falso per tutti x \in R or - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

sec (x) < 1 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

sec (x) < 1

Esprimere con sen e cos

sec (x) < 1

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} < 1

\frac{1}{cos ( x )} < 1

Riscrivere in forma standard

\frac{1}{cos ( x )} < 1

Sottrarre

1

da entrambi i lati

\frac{1}{cos ( x )} - 1 < 1 - 1

Semplificare

\frac{1}{cos ( x )} - 1 < 0

Semplifica

\frac{1}{cos ( x )} - 1 : \frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - 1

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Moltiplicare:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )} < 0

\frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )} < 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

\frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )}

Trova i segni di

1 - cos (x)

1 - cos (x) = 0 : cos (x) = 1

1 - cos (x) = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - cos (x) = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - cos (x) - 1 = 0 - 1

Semplificare

- cos (x) = - 1

- cos (x) = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 1

- cos (x) = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 1

\frac{- cos ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Semplificare

cos (x) = 1

cos (x) = 1

1 - cos (x) < 0 : cos (x) > 1

1 - cos (x) < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - cos (x) < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - cos (x) - 1 < 0 - 1

Semplificare

- cos (x) < - 1

- cos (x) < - 1

Moltiplica entrambi i lati per

- 1

- cos (x) < - 1

Moltiplicare entrambi i lati per -1 (invertire la disuguaglianza)

(- cos (x)) (- 1) > (- 1) (- 1)

Semplificare

cos (x) > 1

cos (x) > 1

1 - cos (x) > 0 : cos (x) < 1

1 - cos (x) > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - cos (x) > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - cos (x) - 1 > 0 - 1

Semplificare

- cos (x) > - 1

- cos (x) > - 1

Moltiplica entrambi i lati per

- 1

- cos (x) > - 1

Moltiplicare entrambi i lati per -1 (invertire la disuguaglianza)

(- cos (x)) (- 1) < (- 1) (- 1)

Semplificare

cos (x) < 1

cos (x) < 1

Trova i segni di

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Trova i punti singolari

Trovare gli zeri del denominatore

cos (x) : cos (x) = 0

Riassumere in una tabella:

1 - cos (x) cos (x) \frac{1 - c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 “ N o n d e f ini t o “ 0 < cos (x) < 1 + + + cos (x) = 1 0 + 0 cos (x) > 1 - + -

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

< 0

cos (x) < 0 or cos (x) > 1

cos (x) < 0 or cos (x) > 1

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

Per

cos (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

allora

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Semplificare

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Semplificare

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

Semplificare

2 π - \frac{π}{2}

Converti l'elemento in frazione:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

Aggiungi elementi simili:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) > 1 :

Falso per tutti

x \in R

cos (x) > 1

Intervallo di

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falso

Lasciare

y = cos (x)

Combina gli intervalli

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso per tutti y \in R

Falso per tutti y \in R

Nessuna soluzione per x \in R

Falso per tutti x \in R

Combina gli intervalli

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or Falso per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combina gli intervalli

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn and \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

Falso per tutti x \in R

Esempi popolari

-1<tan(x/2)<-1/5

- 1 < tan (\frac{x}{2}) < - \frac{1}{5}

1<= sin(θ)<3

1 \leq sin (θ) < 3

cos(θ)>0\land sin(θ)<0

cos (θ) > 0 and sin (θ) < 0

tan(θ)=1\land cos(θ)>0,csc(θ)

tan (θ) = 1 and cos (θ) > 0, csc (θ)

-1<sin(x)<= 0

- 1 < sin (x) \leq 0