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Beliebt Trigonometrie >

cosh(θ)= 8/3 \land θ<0,sinh(θ)

Lösung

cosh (θ) = \frac{8}{3} and θ < 0, sinh (θ)

Lösung

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

Dezimale

θ = - 1.63680 \dots

Schritte zur Lösung

cosh (θ) = \frac{8}{3} and θ < 0

cosh (θ) = \frac{8}{3} : θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

cosh (θ) = \frac{8}{3}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cosh (θ) = \frac{8}{3}

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3} : θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3}

Wende die Regeln für Multipikation bei Brüchen an: Wenn

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

dann

a \cdot d = b \cdot c

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 2 \cdot 8

Vereinfache

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 16

Wende Exponentenregel an

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 16

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- θ} = (e^{θ})^{- 1}

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 3 = 16

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 3 = 16

Schreibe die Gleichung um mit

e^{θ} = u

(u + (u)^{- 1}) \cdot 3 = 16

Löse

(u + u^{- 1}) \cdot 3 = 16 : u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

(u + u^{- 1}) \cdot 3 = 16

Fasse zusammen

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 = 16

Vereinfache

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 : 3 (u + \frac{1}{u})

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3

Apply the commutative law:

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 = 3 (u + \frac{1}{u})

3 (u + \frac{1}{u})

3 (u + \frac{1}{u}) = 16

Schreibe

3 (u + \frac{1}{u})

um:

3 u + \frac{3}{u}

3 (u + \frac{1}{u})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = u, c = \frac{1}{u}

= 3 u + 3 \cdot \frac{1}{u}

3 \cdot \frac{1}{u} = \frac{3}{u}

3 \cdot \frac{1}{u}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{u}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{u}

= 3 u + \frac{3}{u}

3 u + \frac{3}{u} = 16

Multipliziere beide Seiten mit

u

3 u + \frac{3}{u} = 16

Multipliziere beide Seiten mit

u

3 uu + \frac{3}{u} u = 16 u

Vereinfache

3 uu + \frac{3}{u} u = 16 u

Vereinfache

3 uu : 3 u^{2}

3 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 3 u^{2}

Vereinfache

\frac{3}{u} u : 3

\frac{3}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 3

3 u^{2} + 3 = 16 u

3 u^{2} + 3 = 16 u

3 u^{2} + 3 = 16 u

Löse

3 u^{2} + 3 = 16 u : u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

3 u^{2} + 3 = 16 u

Verschiebe

16 u

auf die linke Seite

3 u^{2} + 3 = 16 u

Subtrahiere

16 u

von beiden Seiten

3 u^{2} + 3 - 16 u = 16 u - 16 u

Vereinfache

3 u^{2} + 3 - 16 u = 0

3 u^{2} + 3 - 16 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 16 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} - 16 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 16, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

(- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 255

(- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 16)^{2} = 1 6^{2}

= 1 6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 1 6^{2} - 36

1 6^{2} = 256

= 256 - 36

Subtrahiere die Zahlen:

256 - 36 = 220

= 220

Primfaktorzerlegung von

220 : 2^{2} \cdot 5 \cdot 11

220

220

ist durch

2220 = 110 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 110

110

ist durch

2110 = 55 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 55

55

ist durch

555 = 11 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11

2, 5, 11

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11

= 2^{2} \cdot 5 \cdot 11

= 2^{2} \cdot 5 \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 5 \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 5 \cdot 11

Fasse zusammen

= 255

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm 2 55}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 16 ) + 2 55}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 16 ) - 2 55}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 16 ) + 2 55}{2 \cdot 3} : \frac{8 + 55}{3}

\frac{- ( - 16 ) + 2 55}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{16 + 2 55}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{16 + 2 55}{6}

Faktorisiere

16 + 255 : 2 (8 + 55)

16 + 255

Schreibe um

= 2 \cdot 8 + 255

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (8 + 55)

= \frac{2 ( 8 + 55 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{8 + 55}{3}

u = \frac{- ( - 16 ) - 2 55}{2 \cdot 3} : \frac{8 - 55}{3}

\frac{- ( - 16 ) - 2 55}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{16 - 2 55}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{16 - 2 55}{6}

Faktorisiere

16 - 255 : 2 (8 - 55)

16 - 255

Schreibe um

= 2 \cdot 8 - 255

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (8 - 55)

= \frac{2 ( 8 - 55 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{8 - 55}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

(u + u^{- 1}) 3

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

Setze

u = e^{θ} w i e d er e in,

löse für

θ

Löse

e^{θ} = \frac{8 + 55}{3} : θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

e^{θ} = \frac{8 + 55}{3}

Wende Exponentenregel an

e^{θ} = \frac{8 + 55}{3}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{8 + 55}{3})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

Löse

e^{θ} = \frac{8 - 55}{3} : θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

e^{θ} = \frac{8 - 55}{3}

Wende Exponentenregel an

e^{θ} = \frac{8 - 55}{3}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{8 - 55}{3})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

Kombiniere die Bereiche

(θ = ln (\frac{8 - 55}{3}) or θ = ln (\frac{8 + 55}{3})) and θ < 0

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

θ = ln (\frac{8 - 55}{3}) or θ = ln (\frac{8 + 55}{3}) and θ < 0

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

θ = ln (\frac{8 - 55}{3}) or θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

und

θ < 0

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

Graph

Beliebte Beispiele

cos(θ)=(sqrt(3))/2 \land csc(θ)<0

cos (θ) = \frac{3}{2} and csc (θ) < 0

0<= y<= sin(3.1416)

0 \leq y \leq sin (3.1416)

-1<= 2/(cos(x))<= 1

- 1 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

0<= sin(x)<1

0 \leq sin (x) < 1

-1<sec(x)<1

- 1 < sec (x) < 1