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Popolare Trigonometria >

cosh(θ)= 8/3 \land θ<0,sinh(θ)

Soluzione

cosh (θ) = \frac{8}{3} and θ < 0, sinh (θ)

Soluzione

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

Decimale

θ = - 1.63680 \dots

Fasi della soluzione

cosh (θ) = \frac{8}{3} and θ < 0

cosh (θ) = \frac{8}{3} : θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

cosh (θ) = \frac{8}{3}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cosh (θ) = \frac{8}{3}

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3} : θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{8}{3}

Applica la moltiplicazione incrociata: se

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

allora

a \cdot d = b \cdot c

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 2 \cdot 8

Semplificare

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 16

Applica le regole dell'esponente

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 3 = 16

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- θ} = (e^{θ})^{- 1}

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 3 = 16

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 3 = 16

Riscrivi l'equazione con

e^{θ} = u

(u + (u)^{- 1}) \cdot 3 = 16

Risolvi

(u + u^{- 1}) \cdot 3 = 16 : u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

(u + u^{- 1}) \cdot 3 = 16

Affinare

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 = 16

Semplificare

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 : 3 (u + \frac{1}{u})

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3

Applica la legge commutativa:

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 = 3 (u + \frac{1}{u})

3 (u + \frac{1}{u})

3 (u + \frac{1}{u}) = 16

Espandere

3 (u + \frac{1}{u}) : 3 u + \frac{3}{u}

3 (u + \frac{1}{u})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = u, c = \frac{1}{u}

= 3 u + 3 \cdot \frac{1}{u}

3 \cdot \frac{1}{u} = \frac{3}{u}

3 \cdot \frac{1}{u}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{u}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{u}

= 3 u + \frac{3}{u}

3 u + \frac{3}{u} = 16

Moltiplica entrambi i lati per

u

3 u + \frac{3}{u} = 16

Moltiplica entrambi i lati per

u

3 uu + \frac{3}{u} u = 16 u

Semplificare

3 uu + \frac{3}{u} u = 16 u

Semplificare

3 uu : 3 u^{2}

3 uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 3 u^{2}

Semplificare

\frac{3}{u} u : 3

\frac{3}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= 3

3 u^{2} + 3 = 16 u

3 u^{2} + 3 = 16 u

3 u^{2} + 3 = 16 u

Risolvi

3 u^{2} + 3 = 16 u : u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

3 u^{2} + 3 = 16 u

Spostare

16 u

a sinistra dell'equazione

3 u^{2} + 3 = 16 u

Sottrarre

16 u

da entrambi i lati

3 u^{2} + 3 - 16 u = 16 u - 16 u

Semplificare

3 u^{2} + 3 - 16 u = 0

3 u^{2} + 3 - 16 u = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 16 u + 3 = 0

Risolvi con la formula quadratica

3 u^{2} - 16 u + 3 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 3, b = - 16, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

(- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 255

(- 16)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 16)^{2} = 1 6^{2}

= 1 6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 1 6^{2} - 36

1 6^{2} = 256

= 256 - 36

Sottrai i numeri:

256 - 36 = 220

= 220

Fattorizzazione prima di

220 : 2^{2} \cdot 5 \cdot 11

220

220

diviso per

2220 = 110 \cdot 2

= 2 \cdot 110

110

diviso per

2110 = 55 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 55

55

diviso per

555 = 11 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11

2, 5, 11

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11

= 2^{2} \cdot 5 \cdot 11

= 2^{2} \cdot 5 \cdot 11

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 2^{2} 5 \cdot 11

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 5 \cdot 11

Affinare

= 255

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm 2 55}{2 \cdot 3}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 16 ) + 2 55}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 16 ) - 2 55}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 16 ) + 2 55}{2 \cdot 3} : \frac{8 + 55}{3}

\frac{- ( - 16 ) + 2 55}{2 \cdot 3}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{16 + 2 55}{2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{16 + 2 55}{6}

Fattorizza

16 + 255 : 2 (8 + 55)

16 + 255

Riscrivi come

= 2 \cdot 8 + 255

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (8 + 55)

= \frac{2 ( 8 + 55 )}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{8 + 55}{3}

u = \frac{- ( - 16 ) - 2 55}{2 \cdot 3} : \frac{8 - 55}{3}

\frac{- ( - 16 ) - 2 55}{2 \cdot 3}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{16 - 2 55}{2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{16 - 2 55}{6}

Fattorizza

16 - 255 : 2 (8 - 55)

16 - 255

Riscrivi come

= 2 \cdot 8 - 255

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (8 - 55)

= \frac{2 ( 8 - 55 )}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{8 - 55}{3}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

(u + u^{- 1}) 3

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

u = \frac{8 + 55}{3}, u = \frac{8 - 55}{3}

Sostituisci

u = e^{θ},

risolvi per

θ

Risolvi

e^{θ} = \frac{8 + 55}{3} : θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

e^{θ} = \frac{8 + 55}{3}

Applica le regole dell'esponente

e^{θ} = \frac{8 + 55}{3}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{8 + 55}{3})

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

Risolvi

e^{θ} = \frac{8 - 55}{3} : θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

e^{θ} = \frac{8 - 55}{3}

Applica le regole dell'esponente

e^{θ} = \frac{8 - 55}{3}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{8 - 55}{3})

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 + 55}{3}), θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

Combina gli intervalli

(θ = ln (\frac{8 - 55}{3}) or θ = ln (\frac{8 + 55}{3})) and θ < 0

Unire gli intervalli sovrapposti

θ = ln (\frac{8 - 55}{3}) or θ = ln (\frac{8 + 55}{3}) and θ < 0

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

θ = ln (\frac{8 - 55}{3}) or θ = ln (\frac{8 + 55}{3})

θ < 0

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

θ = ln (\frac{8 - 55}{3})

Grafico

Esempi popolari

cos(θ)=(sqrt(3))/2 \land csc(θ)<0

cos (θ) = \frac{3}{2} and csc (θ) < 0

0<= y<= sin(3.1416)

0 \leq y \leq sin (3.1416)

-1<= 2/(cos(x))<= 1

- 1 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

0<= sin(x)<1

0 \leq sin (x) < 1

-1<sec(x)<1

- 1 < sec (x) < 1