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Popular Trigonometria >

sin(θ)cos(θ)tan(θ)-cos^2(θ)>0

Solução

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - cos^{2} (θ) > 0

Solução

\frac{π}{4} + πn < θ < \frac{3 π}{4} + πn

Notação de intervalo

(\frac{π}{4} + πn, \frac{3 π}{4} + πn)

Decimal

0.78539 \dots + πn < θ < 2.35619 \dots + πn

Passos da solução

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - cos^{2} (θ) > 0

Usar a seguinte identidade:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Portanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - (1 - sin^{2} (θ)) > 0

Simplificar

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ) > 0

Periodicidade de

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ) : π

Periodicidade de

f (x) + c =

Periodicidade de

f (x)

c = - 1

= periodicidade de sin (θ) cos (θ) tan (θ) + sin^{2} (θ)

A periodicidade composta da soma das funções periódicas é o menor multiplicador comum dos períodos

sin (θ) cos (θ) tan (θ), sin^{2} (θ)

Periodicidade de

sin (θ) cos (θ) tan (θ) : π

sin (θ) cos (θ) tan (θ)

é composta pelas seguintes funções e períodos:

sin (θ)

com periodicidade de

2 π

A periodicidade composta é:

π

Periodicidade de

sin^{2} (θ) : π

Periodicidade de

sin^{n} (x) = \frac{Periodicidade de sin ( x )}{2},

se n é par

Periodicidade de

sin (θ) : 2 π

Periodicidade da

sin (x)

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplificar

π

Juntar períodos:

π, π

= π

Expresar com seno, cosseno

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ) > 0

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) > 0

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) > 0

Simplificar

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ) : 2 sin^{2} (θ) - 1

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 + sin^{2} (θ)

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = sin^{2} (θ)

sin (θ) cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

Eliminar o fator comum:

cos (θ)

= sin (θ) sin (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Somar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

Agrupar termos semelhantes

= sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 1

Somar elementos similares:

sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 2 sin^{2} (θ)

= 2 sin^{2} (θ) - 1

2 sin^{2} (θ) - 1 > 0

Fatorar

2 sin^{2} (θ) - 1 : (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

2 sin^{2} (θ) - 1

Reescrever

2 sin^{2} (θ) - 1

como

(2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

2 sin^{2} (θ) - 1

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (θ) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (θ) - 1^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} sin^{2} (θ) = (2 sin (θ))^{2}

= (2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

= (2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (θ))^{2} - 1^{2} = (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

= (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) > 0

Para encontrar os zeros, defina a desigualdade como zero

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

Resolver

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

para

0 \leq θ < π

(2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) = 0

Resolver cada parte separadamente

2 sin (θ) - 1 = 0 : θ = \frac{π}{4} or θ = \frac{3 π}{4}

2 sin (θ) - 1 = 0, 0 \leq θ < π

Mova

1

para o lado direito

2 sin (θ) - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 sin (θ) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 sin (θ) = 1

2 sin (θ) = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 sin (θ) = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( θ )}{2} : sin (θ)

\frac{2 sin ( θ )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= sin (θ)

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

Soluções gerais para

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq θ < π

θ = \frac{π}{4}, θ = \frac{3 π}{4}

Combinar toda as soluções

\frac{π}{4} or \frac{3 π}{4}

Os tervalos entre os zeros

0 < θ < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < θ < π

Resumir em uma tabela:

2 sin (θ) + 1 2 sin (θ) - 1 (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1) θ = 0 + - - 0 < θ < \frac{π}{4} + - - θ = \frac{π}{4} + 00 \frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4} + + + θ = \frac{3 π}{4} + 00 \frac{3 π}{4} < θ < π + - - θ = π + - -

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

> 0

\frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4}

Utilizar a periodicidade de

sin (θ) cos (θ) tan (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

\frac{π}{4} + πn < θ < \frac{3 π}{4} + πn

Exemplos populares

-3cos(x)+1<= 1

- 3 cos (x) + 1 \leq 1

1-tan(x)<= 1

1 - tan (x) \leq 1

sin(x)>sin^2(x)

sin (x) > sin^{2} (x)

-1/(8sin^3(t))>0

- \frac{1}{8 sin ^{3} ( t )} > 0

cot(x)>= 7/8

cot (x) \geq \frac{7}{8}