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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-8cos(x)-8=0

Lösung

sin^{2} (x) - 8 cos (x) - 8 = 0

Lösung

x = π + 2 πn

Grad

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - 8 cos (x) - 8 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 8 + sin^{2} (x) - 8 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 8 + 1 - cos^{2} (x) - 8 cos (x)

Vereinfache

= - cos^{2} (x) - 8 cos (x) - 7

- 7 - cos^{2} (x) - 8 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 7 - cos^{2} (x) - 8 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 7 - u^{2} - 8 u = 0

- 7 - u^{2} - 8 u = 0 : u = - 7, u = - 1

- 7 - u^{2} - 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 8 u - 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} - 8 u - 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 8, c = - 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 7 )}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 7 )}{2 ( - 1 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 1) (- 7) = 6

(- 8)^{2} - 4 (- 1) (- 7)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 7 = 28

= 8^{2} - 28

8^{2} = 64

= 64 - 28

Subtrahiere die Zahlen:

64 - 28 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 6}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 6}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 6}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 6}{2 ( - 1 )} : - 7

\frac{- ( - 8 ) + 6}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 6}{- 2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

8 + 6 = 14

= \frac{14}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{14}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{14}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{14}{2} = 7

= - 7

u = \frac{- ( - 8 ) - 6}{2 ( - 1 )} : - 1

\frac{- ( - 8 ) - 6}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 6}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 6 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 7, u = - 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 7, cos (x) = - 1

cos (x) = - 7, cos (x) = - 1

cos (x) = - 7 :

Keine Lösung

cos (x) = - 7

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3sin^2(x)-5sin(x)+2=0

3 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 2 = 0

2cos(x)+sin(x)=0

2 cos (x) + sin (x) = 0

6sin^2(x)+12sin(x)+6=0

6 sin^{2} (x) + 12 sin (x) + 6 = 0

tan(1/2 x)+sqrt(3)=0

tan (\frac{1}{2} x) + 3 = 0

-arcsin(4x)= pi/4

- arcsin (4 x) = \frac{π}{4}