integral of sqrt(1-4^x)2^x

解

\int 1 - 4^{x} 2^{x} d x

\frac{2 ^{x} 1 - 4 ^{x}}{ln ( 2 )} - \frac{2 ^{x + 2} 1 - 4 ^{x} + 2 arcsin ( 1 - 4 ^{x} ) - sin ( 2 arcsin ( 1 - 4 ^{x} ) )}{4 ln ( 2 )} + C

解答ステップ

\int 1 - 4^{x} \cdot 2^{x} d x

部分積分を適用する

= \frac{2 ^{x} 1 - 4 ^{x}}{ln ( 2 )} - \int - \frac{8 ^{x}}{1 - 4 ^{x}} d x

\int - \frac{8 ^{x}}{1 - 4 ^{x}} d x = \frac{2 ^{x + 2} 1 - 4 ^{x} + 2 arcsin ( 1 - 4 ^{x} ) - sin ( 2 arcsin ( 1 - 4 ^{x} ) )}{4 ln ( 2 )}

= \frac{2 ^{x} 1 - 4 ^{x}}{ln ( 2 )} - \frac{2 ^{x + 2} 1 - 4 ^{x} + 2 arcsin ( 1 - 4 ^{x} ) - sin ( 2 arcsin ( 1 - 4 ^{x} ) )}{4 ln ( 2 )}

定数を解答に追加する

= \frac{2 ^{x} 1 - 4 ^{x}}{ln ( 2 )} - \frac{2 ^{x + 2} 1 - 4 ^{x} + 2 arcsin ( 1 - 4 ^{x} ) - sin ( 2 arcsin ( 1 - 4 ^{x} ) )}{4 ln ( 2 )} + C