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人気のある微分積分 >

integral of sqrt(x)sqrt(16-x)

解

\int x 16 - x d x

解

32 (arcsin (\frac{1}{8} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} x - 1))) + C

解答ステップ

\int x 16 - x d x

指数の規則を適用する:

a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}

x 16 - x = x (16 - x)

= \int x (16 - x) d x

拡張

x (16 - x) : 16 x - x^{2}

= \int 16 x - x^{2} d x

平方完成する

16 x - x^{2} : - (x - 8)^{2} + 64

= \int - (x - 8)^{2} + 64 d x

u置換積分法を適用する

= \int - u^{2} + 64 d u

三角関数による置換を適用する

= \int 64 cos^{2} (v) d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 64 \cdot \int cos^{2} (v) d v

三角関数の公式を使用して書き換える

= 64 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 64 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 64 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 64 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

代用を戻す

= 64 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{8} (x - 8)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} (x - 8))))

簡素化

64 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{8} (x - 8)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} (x - 8)))) : 32 (arcsin (\frac{1}{8} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} x - 1)))

= 32 (arcsin (\frac{1}{8} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} x - 1)))

定数を解答に追加する

= 32 (arcsin (\frac{1}{8} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} x - 1))) + C

グラフ

人気の例

integral of (3sqrt(x))/(-2)

\int \frac{3 x}{- 2} d x

integral of (y^2)/((x^2+y^2)^{3/2)}

\int \frac{y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

integral of 1/((1+sin(x))^2)

\int \frac{1}{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}} d x

integral of (3sin(x)+2cos(x))^2

\int (3 sin (x) + 2 cos (x))^{2} d x

integral of tan(x)sec^{5/2}(x)

\int tan (x) sec^{\frac{5}{2}} (x) d x