integral of (y^2)/((x^2+y^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y^{2} \cdot \int \frac{1}{( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= y^{2} \cdot \int \frac{1}{y ^{2} sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y^{2} \frac{1}{y ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= y^{2} \frac{1}{y ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= y^{2} \frac{1}{y ^{2}} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{y} x)

ein

= y^{2} \frac{1}{y ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{y} x))

Vereinfache

y^{2} \frac{1}{y ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{y} x)) : \frac{x}{( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{1}{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}} d x

\int (3 sin (x) + 2 cos (x))^{2} d x

\int tan (x) sec^{\frac{5}{2}} (x) d x

\int \frac{x ^{4} - 1}{x} d x

\int 12 x^{3} - \frac{3}{x ^{3}} + 5 e^{- x} d x