integral of 1/((1+sin(x))^2)

Lösung

\int \frac{1}{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}} d x

2 (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1} + \frac{1}{( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 ) ^{2}} - \frac{2}{3 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 ) ^{3}}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{( 1 + u ^{2} + 2 u ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u ^{2} + 1}{( 1 + u ^{2} + 2 u ) ^{2}} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{u ^{2} + 1}{( 1 + u ^{2} + 2 u ) ^{2}} : \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} - \frac{2}{( u + 1 ) ^{3}} + \frac{2}{( u + 1 ) ^{4}}

= 2 \cdot \int \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} - \frac{2}{( u + 1 ) ^{3}} + \frac{2}{( u + 1 ) ^{4}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} d u - \int \frac{2}{( u + 1 ) ^{3}} d u + \int \frac{2}{( u + 1 ) ^{4}} d u)

\int \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} d u = - \frac{1}{u + 1}

\int \frac{2}{( u + 1 ) ^{3}} d u = - \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}}

\int \frac{2}{( u + 1 ) ^{4}} d u = - \frac{2}{3 ( u + 1 ) ^{3}}

= 2 (- \frac{1}{u + 1} - (- \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}}) - \frac{2}{3 ( u + 1 ) ^{3}})

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1} - (- \frac{1}{( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 ) ^{2}}) - \frac{2}{3 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 ) ^{3}})

Vereinfache

= 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1} + \frac{1}{( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 ) ^{2}} - \frac{2}{3 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 ) ^{3}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1} + \frac{1}{( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 ) ^{2}} - \frac{2}{3 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 ) ^{3}}) + C

\int (3 sin (x) + 2 cos (x))^{2} d x

\int tan (x) sec^{\frac{5}{2}} (x) d x

\int \frac{x ^{4} - 1}{x} d x

\int 12 x^{3} - \frac{3}{x ^{3}} + 5 e^{- x} d x

\int \frac{2 x ^{5} + 3 x ^{4} - 5 x ^{2} + 8}{x ^{2}} d x