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Popolare Trigonometria >

sin^4(x)+sin^2(x)=sin^6(x)

Soluzione

sin^{4} (x) + sin^{2} (x) = sin^{6} (x)

Soluzione

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Gradi

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

sin^{4} (x) + sin^{2} (x) = sin^{6} (x)

Risolvi per sostituzione

sin^{4} (x) + sin^{2} (x) = sin^{6} (x)

Sia:

sin (x) = u

u^{4} + u^{2} = u^{6}

u^{4} + u^{2} = u^{6} : u = 0, u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

u^{4} + u^{2} = u^{6}

Scambia i lati

u^{6} = u^{4} + u^{2}

Spostare

u^{2}

a sinistra dell'equazione

u^{6} = u^{4} + u^{2}

Sottrarre

u^{2}

da entrambi i lati

u^{6} - u^{2} = u^{4} + u^{2} - u^{2}

Semplificare

u^{6} - u^{2} = u^{4}

u^{6} - u^{2} = u^{4}

Spostare

u^{4}

a sinistra dell'equazione

u^{6} - u^{2} = u^{4}

Sottrarre

u^{4}

da entrambi i lati

u^{6} - u^{2} - u^{4} = u^{4} - u^{4}

Semplificare

u^{6} - u^{2} - u^{4} = 0

u^{6} - u^{2} - u^{4} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{6} - u^{4} - u^{2} = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

v^{3} = u^{6}

v^{3} - v^{2} - v = 0

Risolvi

v^{3} - v^{2} - v = 0 : v = 0, v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

v^{3} - v^{2} - v = 0

Fattorizza

v^{3} - v^{2} - v : v (v^{2} - v - 1)

v^{3} - v^{2} - v

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= v^{2} v - vv - v

Fattorizzare dal termine comune

v

= v (v^{2} - v - 1)

v (v^{2} - v - 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

v = 0 or v^{2} - v - 1 = 0

Risolvi

v^{2} - v - 1 = 0 : v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

v^{2} - v - 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

v^{2} - v - 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = - 1, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 + 4

Aggiungi i numeri:

1 + 4 = 5

= 5

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 \cdot 1}

Separare le soluzioni

v_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{1 + 5}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 5}{2}

v = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1} : \frac{1 - 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{1 - 5}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 5}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

Le soluzioni sono

v = 0, v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

v = 0, v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Risolvi

u^{2} = \frac{1 + 5}{2} : u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

u^{2} = \frac{1 + 5}{2}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

Risolvi

u^{2} = \frac{1 - 5}{2} : u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

u^{2} = \frac{1 - 5}{2}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

Le soluzioni sono

u = 0, u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{1 - 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 - 5}{2}

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{1 - 5}{2}, sin (x) = - \frac{1 - 5}{2}

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluzioni generali per

sin (x) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = \frac{1 + 5}{2} :

Nessuna soluzione

sin (x) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Nessuna soluzione

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2} :

Nessuna soluzione

sin (x) = - \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Nessuna soluzione

sin (x) = \frac{1 - 5}{2} : x = arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{1 - 5}{2}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (x) = \frac{1 - 5}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{1 - 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

x = arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 - 5}{2} : x = arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 - 5}{2}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (x) = - \frac{1 - 5}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = - \frac{1 - 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

x = arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = π + arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

Poiché l'equazione è non definita per:

arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, π + arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, arcsin - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, π + arcsin \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

cos(a)=(-11)/(14)

cos (a) = \frac{- 11}{14}

solvefor x,sin(x/x)=0.7

so l v e f or x, sin (\frac{x}{x}) = 0.7

5cos^2(x)+sin^2(x)=4

5 cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 4

cos(u)-1.5sin^2(u)+0.1667=0

cos (u) - 1.5 sin^{2} (u) + 0.1667 = 0

3sin(2x-1)=1

3 sin (2 x - 1) = 1