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Popular Trigonometria >

4/(cos(x))-6=tan(x)

Solução

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

Solução

x = 2 π - 0.68802 \dots + 2 πn, x = 1.01832 \dots + 2 πn

Graus

x = 320.57910 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 58.34553 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

Subtrair

tan (x)

de ambos os lados

\frac{4}{cos ( x )} - 6 - tan (x) = 0

Simplificar

\frac{4}{cos ( x )} - 6 - tan (x) : \frac{4 - 6 cos ( x ) - tan ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{4}{cos ( x )} - 6 - tan (x)

Converter para fração:

6 = \frac{6 cos ( x )}{cos ( x )}, tan (x) = \frac{tan ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{4}{cos ( x )} - \frac{6 cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{tan ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 - 6 cos ( x ) - tan ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{4 - 6 cos ( x ) - tan ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 - 6 cos (x) - tan (x) cos (x) = 0

Expresar com seno, cosseno

4 - 6 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} cos (x) = 0

Simplificar

4 - 6 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} cos (x) : 4 - 6 cos (x) - sin (x)

4 - 6 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} cos (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} cos (x) = sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} cos (x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Eliminar o fator comum:

cos (x)

= sin (x)

= 4 - 6 cos (x) - sin (x)

4 - 6 cos (x) - sin (x) = 0

Adicionar

sin (x)

a ambos os lados

4 - 6 cos (x) = sin (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(4 - 6 cos (x))^{2} = sin^{2} (x)

Subtrair

sin^{2} (x)

de ambos os lados

(4 - 6 cos (x))^{2} - sin^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

(4 - 6 cos (x))^{2} - sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (4 - 6 cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

(4 - 6 cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x)) : 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) + 15

(4 - 6 cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x))

(4 - 6 cos (x))^{2} : 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x)

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 4, b = 6 cos (x)

= 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 cos (x) + (6 cos (x))^{2}

Simplificar

4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 cos (x) + (6 cos (x))^{2} : 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x)

4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 cos (x) + (6 cos (x))^{2}

4^{2} = 16

4^{2}

4^{2} = 16

= 16

2 \cdot 4 \cdot 6 cos (x) = 48 cos (x)

2 \cdot 4 \cdot 6 cos (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 \cdot 6 = 48

= 48 cos (x)

(6 cos (x))^{2} = 36 cos^{2} (x)

(6 cos (x))^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 6^{2} cos^{2} (x)

6^{2} = 36

= 36 cos^{2} (x)

= 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x)

= 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x)

= 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Simplificar

16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) : 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) + 15

16 - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= - 48 cos (x) + 36 cos^{2} (x) + cos^{2} (x) + 16 - 1

Somar elementos similares:

36 cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 37 cos^{2} (x)

= - 48 cos (x) + 37 cos^{2} (x) + 16 - 1

Somar/subtrair:

16 - 1 = 15

= 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) + 15

= 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) + 15

= 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) + 15

15 + 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) = 0

Usando o método de substituição

15 + 37 cos^{2} (x) - 48 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

15 + 37 u^{2} - 48 u = 0

15 + 37 u^{2} - 48 u = 0 : u = \frac{24 + 21}{37}, u = \frac{24 - 21}{37}

15 + 37 u^{2} - 48 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

37 u^{2} - 48 u + 15 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

37 u^{2} - 48 u + 15 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 37, b = - 48, c = 15

u_{1, 2} = \frac{- ( - 48 ) \pm ( - 48 ) ^{2} - 4 \cdot 37 \cdot 15}{2 \cdot 37}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 48 ) \pm ( - 48 ) ^{2} - 4 \cdot 37 \cdot 15}{2 \cdot 37}

(- 48)^{2} - 4 \cdot 37 \cdot 15 = 221

(- 48)^{2} - 4 \cdot 37 \cdot 15

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 48)^{2} = 4 8^{2}

= 4 8^{2} - 4 \cdot 37 \cdot 15

Multiplicar os números:

4 \cdot 37 \cdot 15 = 2220

= 4 8^{2} - 2220

4 8^{2} = 2304

= 2304 - 2220

Subtrair:

2304 - 2220 = 84

= 84

Decomposição em fatores primos de

84 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

84

84

dividida por

284 = 42 \cdot 2

= 2 \cdot 42

42

dividida por

242 = 21 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 21

21

dividida por

321 = 7 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3 \cdot 7

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 7

Simplificar

= 221

u_{1, 2} = \frac{- ( - 48 ) \pm 2 21}{2 \cdot 37}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 48 ) + 2 21}{2 \cdot 37}, u_{2} = \frac{- ( - 48 ) - 2 21}{2 \cdot 37}

u = \frac{- ( - 48 ) + 2 21}{2 \cdot 37} : \frac{24 + 21}{37}

\frac{- ( - 48 ) + 2 21}{2 \cdot 37}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{48 + 2 21}{2 \cdot 37}

Multiplicar os números:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{48 + 2 21}{74}

Fatorar

48 + 221 : 2 (24 + 21)

48 + 221

Reescrever como

= 2 \cdot 24 + 221

Fatorar o termo comum

2

= 2 (24 + 21)

= \frac{2 ( 24 + 21 )}{74}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{24 + 21}{37}

u = \frac{- ( - 48 ) - 2 21}{2 \cdot 37} : \frac{24 - 21}{37}

\frac{- ( - 48 ) - 2 21}{2 \cdot 37}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{48 - 2 21}{2 \cdot 37}

Multiplicar os números:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{48 - 2 21}{74}

Fatorar

48 - 221 : 2 (24 - 21)

48 - 221

Reescrever como

= 2 \cdot 24 - 221

Fatorar o termo comum

2

= 2 (24 - 21)

= \frac{2 ( 24 - 21 )}{74}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{24 - 21}{37}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{24 + 21}{37}, u = \frac{24 - 21}{37}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{24 + 21}{37}, cos (x) = \frac{24 - 21}{37}

cos (x) = \frac{24 + 21}{37}, cos (x) = \frac{24 - 21}{37}

cos (x) = \frac{24 + 21}{37} : x = arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn

cos (x) = \frac{24 + 21}{37}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{24 + 21}{37}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{24 + 21}{37}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn

x = arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn

cos (x) = \frac{24 - 21}{37} : x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

cos (x) = \frac{24 - 21}{37}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{24 - 21}{37}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{24 - 21}{37}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn :

Falso

arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1

Para

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

inserir

x = arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1

\frac{4}{cos ( arccos ( \frac{24 + 21}{37} ) + 2 π 1 )} - 6 = tan (arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.82202 \dots = 0.82202 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn :

Verdadeiro

2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn

Inserir

n = 1

2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1

Para

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

inserir

x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1

\frac{4}{cos ( 2 π - arccos ( \frac{24 + 21}{37} ) + 2 π 1 )} - 6 = tan (2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.82202 \dots = - 0.82202 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn :

Verdadeiro

arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1

Para

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

inserir

x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1

\frac{4}{cos ( arccos ( \frac{24 - 21}{37} ) + 2 π 1 )} - 6 = tan (arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1)

Simplificar

1.62202 \dots = 1.62202 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

Inserir

n = 1

2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1

Para

\frac{4}{cos ( x )} - 6 = tan (x)

inserir

x = 2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1

\frac{4}{cos ( 2 π - arccos ( \frac{24 - 21}{37} ) + 2 π 1 )} - 6 = tan (2 π - arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 π 1)

Simplificar

1.62202 \dots = - 1.62202 \dots

\Rightarrow Falso

x = 2 π - arccos (\frac{24 + 21}{37}) + 2 πn, x = arccos (\frac{24 - 21}{37}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 2 π - 0.68802 \dots + 2 πn, x = 1.01832 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

tan(2a)cot(a+20)=1

tan (2 a) cot (a + 2 0^{\circ}) = 1

sqrt(2)sin(3x)-1=0,0,2pi

2 sin (3 x) - 1 = 0, 0, 2 π

4cos^2(x)=2cos(x)+1

4 cos^{2} (x) = 2 cos (x) + 1

(13)/(sin(108))= 9/(sin(x))

\frac{13}{sin ( 10 8 ^{\circ} )} = \frac{9}{sin ( x )}

tan^2(x)+5cos(x)-8=0

tan^{2} (x) + 5 cos (x) - 8 = 0