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Beliebt Trigonometrie >

(13)/(sin(108))= 9/(sin(x))

Lösung

\frac{13}{sin ( 10 8 ^{\circ} )} = \frac{9}{sin ( x )}

Lösung

x = 0.71872 \dots + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - 0.71872 \dots + 36 0^{\circ} n

Radianten

x = 0.71872 \dots + 2 πn, x = π - 0.71872 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

\frac{13}{sin ( 10 8 ^{\circ} )} = \frac{9}{sin ( x )}

sin (10 8^{\circ}) = \frac{2 5 + 5}{4}

sin (10 8^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (1 8^{\circ})

sin (10 8^{\circ})

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

= cos (9 0^{\circ} - 10 8^{\circ})

Vereinfache:

9 0^{\circ} - 10 8^{\circ} = - 1 8^{\circ}

9 0^{\circ} - 10 8^{\circ}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 5 : 10

2, 5

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

5 : 5

5

5

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 5

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

5

vorkommt

= 2 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= 10

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

10

Für

9 0^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

5

9 0^{\circ} = \frac{18 0 ^{\circ} 5}{2 \cdot 5} = 9 0^{\circ}

Für

10 8^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

10 8^{\circ} = \frac{54 0 ^{\circ} 2}{5 \cdot 2} = 10 8^{\circ}

= 9 0^{\circ} - 10 8^{\circ}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 0 ^{\circ} 5 - 108 0 ^{\circ}}{10}

Addiere gleiche Elemente:

90 0^{\circ} - 108 0^{\circ} = - 18 0^{\circ}

= \frac{- 18 0 ^{\circ}}{10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - 1 8^{\circ}

= cos (- 1 8^{\circ})

Verwende die folgende Eigenschaft:

cos (- x) = cos (x)

cos (- 1 8^{\circ}) = cos (1 8^{\circ})

= cos (1 8^{\circ})

= cos (1 8^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

\frac{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}{2}

cos (1 8^{\circ})

Schreibe

cos (1 8^{\circ})

als

cos (\frac{3 6 ^{\circ}}{2})

= cos (\frac{3 6 ^{\circ}}{2})

Verwende die Halbwinkel Identität:

cos (\frac{θ}{2}) = \frac{1 + cos ( θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Ersetze

θ

mit

\frac{θ}{2}

cos (θ) = 2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) - 1

Tausche die Seiten

2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 + cos (θ)

Teile beide Seiten durch

2

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 + cos ( θ ) )}{2}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

range [0, 9 0^{\circ}] [9 0^{\circ}, 18 0^{\circ}] [18 0^{\circ}, 27 0^{\circ}] [27 0^{\circ}, 36 0^{\circ}] quadrant I II III I V sin positive positive negative negative cos positive negative negative positive

cos (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 + cos ( θ ) )}{2}

= \frac{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}{2}

= \frac{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

cos (3 6^{\circ})

Zeige dass:

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Verwende das folgende Produkt, um die Summe der Identitäten zu finden:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Zeige dass:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Teile beide Seiten durch

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Teile beide Seiten durch

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Teile beide Seiten durch

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Ersetze

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

\frac{1}{2} = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

sin (5 4^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Zeige dass:

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Wende die Faktorisierungsregel an:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})))

Fasse zusammen

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 2 (2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}))

Zeige dass:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Teile beide Seiten durch

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Teile beide Seiten durch

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Teile beide Seiten durch

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Ersetze

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 1

Ersetze

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Fasse zusammen

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Füge

\frac{1}{4}

zu beiden Seiten hinzu

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Fasse zusammen

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} = \frac{5}{4}

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \pm \frac{5}{4}

cos (3 6^{\circ})

darf nicht negativ sein

sin (1 8^{\circ})

darf nicht negativ sein

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Füge die folgenden Gleichungen hinzu

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{2}

((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Fasse zusammen

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

= \frac{5 + 1}{4}

= \frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2} : \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2} = \frac{5 + 5}{8}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

Füge

1 + \frac{5 + 1}{4}

zusammen:

\frac{5 + 5}{4}

1 + \frac{5 + 1}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} + \frac{5 + 1}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 + 5 + 1}{4}

1 \cdot 4 + 5 + 1 = 5 + 5

1 \cdot 4 + 5 + 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 4 + 5 + 1

Addiere die Zahlen:

4 + 1 = 5

= 5 + 5

= \frac{5 + 5}{4}

= \frac{\frac{5 + 5}{4}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 + 5}{4 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{5 + 5}{8}

= \frac{5 + 5}{8}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5 + 5}{8}

8 = 22

8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= \frac{5 + 5}{2 2}

Rationalisiere

\frac{5 + 5}{2 2} : \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{5 + 5}{2 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{5 + 5 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 5 + 5}{4}

= \frac{2 5 + 5}{4}

= \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{13}{\frac{2 5 + 5}{4}} = \frac{9}{sin ( x )}

Kreuzmultiplizieren

\frac{13}{\frac{2 5 + 5}{4}} = \frac{9}{sin ( x )}

Wende die Regeln für Multipikation bei Brüchen an: Wenn

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

dann

a \cdot d = b \cdot c

13 sin (x) = \frac{2 5 + 5}{4} \cdot 9

Vereinfache

\frac{2 5 + 5}{4} \cdot 9 : \frac{9 2 5 + 5}{4}

\frac{2 5 + 5}{4} \cdot 9

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 5 + 5 \cdot 9}{4}

Faktorisiere

4 : 2^{2}

Faktorisiere

4 = 2^{2}

= \frac{9 2 5 + 5}{2 ^{2}}

Streiche

\frac{2 5 + 5 \cdot 9}{2 ^{2}} : \frac{9 5 + 5}{2 ^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 5 + 5 \cdot 9}{2 ^{2}}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{9 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}} 5 + 5}{2 ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{2}} = \frac{1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

= \frac{9 5 + 5}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{9 5 + 5}{2 ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{9 5 + 5}{2 ^{\frac{3}{2}}}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

Wende Exponentenregel an:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Fasse zusammen

= 22

= \frac{9 5 + 5}{2 2}

Rationalisiere

\frac{9 5 + 5}{2 2} : \frac{9 2 5 + 5}{4}

\frac{9 5 + 5}{2 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{9 5 + 5 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{9 2 5 + 5}{4}

= \frac{9 2 5 + 5}{4}

13 sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{4}

13 sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{4}

Teile beide Seiten durch

13

13 sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{4}

Teile beide Seiten durch

13

\frac{13 sin ( x )}{13} = \frac{\frac{9 2 5 + 5}{4}}{13}

Vereinfache

\frac{13 sin ( x )}{13} = \frac{\frac{9 2 5 + 5}{4}}{13}

Vereinfache

\frac{13 sin ( x )}{13} : sin (x)

\frac{13 sin ( x )}{13}

Teile die Zahlen:

\frac{13}{13} = 1

= sin (x)

Vereinfache

\frac{\frac{9 2 5 + 5}{4}}{13} : \frac{9 2 5 + 5}{52}

\frac{\frac{9 2 5 + 5}{4}}{13}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{9 2 5 + 5}{4 \cdot 13}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 = 52

= \frac{9 2 5 + 5}{52}

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

sin (x) = 0

Nimm den/die Nenner von

\frac{9}{sin ( x )}

und vergleiche mit Null

sin (x) = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

sin (x) = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - arcsin (a) + 36 0^{\circ} n

x = arcsin (\frac{9 2 5 + 5}{52}) + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - arcsin (\frac{9 2 5 + 5}{52}) + 36 0^{\circ} n

x = arcsin (\frac{9 2 5 + 5}{52}) + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - arcsin (\frac{9 2 5 + 5}{52}) + 36 0^{\circ} n

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.71872 \dots + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - 0.71872 \dots + 36 0^{\circ} n

Graph

Beliebte Beispiele

tan^2(x)+5cos(x)-8=0

tan^{2} (x) + 5 cos (x) - 8 = 0

3sin(x)=2-2sin^2(x)

3 sin (x) = 2 - 2 sin^{2} (x)

100=100+40sin((9pi)/4 t)

100 = 100 + 40 sin (\frac{9 π}{4} t)

tan(φ)=-1/(sqrt(3))

tan (φ) = - \frac{1}{3}

sin(3m)=0

sin (3 m) = 0