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Beliebt Trigonometrie >

3sin(t)=-3+cos(t)

Lösung

3 sin (t) = - 3 + cos (t)

Lösung

t = \frac{3 π}{2} + 2 πn, t = 2 π - 0.92729 \dots + 2 πn

Grad

t = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = 306.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (t) = - 3 + cos (t)

Quadriere beide Seiten

(3 sin (t))^{2} = (- 3 + cos (t))^{2}

Subtrahiere

(- 3 + cos (t))^{2}

von beiden Seiten

9 sin^{2} (t) - 9 + 6 cos (t) - cos^{2} (t) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 9 - cos^{2} (t) + 6 cos (t) + 9 sin^{2} (t)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - cos^{2} (t) + 6 cos (t) + 9 (1 - cos^{2} (t))

Vereinfache

- 9 - cos^{2} (t) + 6 cos (t) + 9 (1 - cos^{2} (t)) : 6 cos (t) - 10 cos^{2} (t)

- 9 - cos^{2} (t) + 6 cos (t) + 9 (1 - cos^{2} (t))

Multipliziere aus

9 (1 - cos^{2} (t)) : 9 - 9 cos^{2} (t)

9 (1 - cos^{2} (t))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (t)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (t)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (t)

= - 9 - cos^{2} (t) + 6 cos (t) + 9 - 9 cos^{2} (t)

Vereinfache

- 9 - cos^{2} (t) + 6 cos (t) + 9 - 9 cos^{2} (t) : 6 cos (t) - 10 cos^{2} (t)

- 9 - cos^{2} (t) + 6 cos (t) + 9 - 9 cos^{2} (t)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (t) + 6 cos (t) - 9 cos^{2} (t) - 9 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (t) - 9 cos^{2} (t) = - 10 cos^{2} (t)

= - 10 cos^{2} (t) + 6 cos (t) - 9 + 9

- 9 + 9 = 0

= 6 cos (t) - 10 cos^{2} (t)

= 6 cos (t) - 10 cos^{2} (t)

= 6 cos (t) - 10 cos^{2} (t)

- 10 cos^{2} (t) + 6 cos (t) = 0

Löse mit Substitution

- 10 cos^{2} (t) + 6 cos (t) = 0

Angenommen:

cos (t) = u

- 10 u^{2} + 6 u = 0

- 10 u^{2} + 6 u = 0 : u = 0, u = \frac{3}{5}

- 10 u^{2} + 6 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 10 u^{2} + 6 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 10, b = 6, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 0}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 0}{2 ( - 10 )}

6^{2} - 4 (- 10) \cdot 0 = 6

6^{2} - 4 (- 10) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 6^{2} + 0

6^{2} + 0 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6}{2 ( - 10 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 + 6}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 6}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- 6 + 6}{2 ( - 10 )} : 0

\frac{- 6 + 6}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 6}{- 2 \cdot 10}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 6 + 6 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{0}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{20}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 6 - 6}{2 ( - 10 )} : \frac{3}{5}

\frac{- 6 - 6}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 6}{- 2 \cdot 10}

Subtrahiere die Zahlen:

- 6 - 6 = - 12

= \frac{- 12}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 12}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{3}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = \frac{3}{5}

Setze in

u = cos (t)

ein

cos (t) = 0, cos (t) = \frac{3}{5}

cos (t) = 0, cos (t) = \frac{3}{5}

cos (t) = 0 : t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (t) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (t) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (t) = \frac{3}{5} : t = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, t = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (t) = \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (t) = \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (t) = \frac{3}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

t = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, t = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

t = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, t = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn, t = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, t = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 sin (t) = - 3 + cos (t)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

t = \frac{π}{2} + 2 π 1

3 sin (t) = - 3 + cos (t)

ein, um zu lösen

3 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = - 3 + cos (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

3 = - 3

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

t = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

3 sin (t) = - 3 + cos (t)

ein, um zu lösen

3 sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = - 3 + cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 3 = - 3

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

t = arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

3 sin (t) = - 3 + cos (t)

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = - 3 + cos (arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

2.4 = - 2.4

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

t = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

3 sin (t) = - 3 + cos (t)

ein, um zu lösen

3 sin (2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = - 3 + cos (2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 2.4 = - 2.4

\Rightarrow Wahr

t = \frac{3 π}{2} + 2 πn, t = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

t = \frac{3 π}{2} + 2 πn, t = 2 π - 0.92729 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(tan(x))/3 =sqrt(3)

\frac{tan ( x )}{3} = 3

cos(x)=0.45,cos(pi-x)

cos (x) = 0.45, cos (π - x)

4cos^2(x)+9sin(x)-9=0

4 cos^{2} (x) + 9 sin (x) - 9 = 0

tan(θ)=-12/5 , pi/2 <= θ<= pi

tan (θ) = - \frac{12}{5}, \frac{π}{2} \leq θ \leq π

cos(x)=sin(2x+pi/2),0<= x<= 2pi

cos (x) = sin (2 x + \frac{π}{2}), 0 \leq x \leq 2 π