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Popular Trigonometria >

2sec(2x)+tan(2x)-3=0

Solução

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

Solução

x = \frac{0.56432 \dots}{2} + πn, x = - \frac{1.20782 \dots}{2} + πn

Graus

x = 16.16676 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 34.60171 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

Expresar com seno, cosseno

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 = 0

Simplificar

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 : \frac{2 + sin ( 2 x ) - 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} = \frac{2}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( 2 x )}

= \frac{2}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{2 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + 2}{cos ( 2 x )} - 3

Converter para fração:

3 = \frac{3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{2 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + sin ( 2 x ) - 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{2 + sin ( 2 x ) - 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 + sin (2 x) - 3 cos (2 x) = 0

Adicionar

3 cos (2 x)

a ambos os lados

2 + sin (2 x) = 3 cos (2 x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(2 + sin (2 x))^{2} = (3 cos (2 x))^{2}

Subtrair

(3 cos (2 x))^{2}

de ambos os lados

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 cos^{2} (2 x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 cos^{2} (2 x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (2 + sin (2 x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (2 x))

Simplificar

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (2 x)) : 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (2 x))

(2 + sin (2 x))^{2} : 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 2, b = sin (2 x)

= 2^{2} + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Simplificar

2^{2} + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) : 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

2^{2} + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

2^{2} = 4

= 4 + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 (1 - sin^{2} (2 x))

Expandir

- 9 (1 - sin^{2} (2 x)) : - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

- 9 (1 - sin^{2} (2 x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = sin^{2} (2 x)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) sin^{2} (2 x)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 sin^{2} (2 x)

Multiplicar os números:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

Simplificar

4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 + 9 sin^{2} (2 x) : 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

Agrupar termos semelhantes

= 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) + 9 sin^{2} (2 x) + 4 - 9

Somar elementos similares:

sin^{2} (2 x) + 9 sin^{2} (2 x) = 10 sin^{2} (2 x)

= 4 sin (2 x) + 10 sin^{2} (2 x) + 4 - 9

Somar/subtrair:

4 - 9 = - 5

= 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

= 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

= 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

- 5 + 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) = 0

Usando o método de substituição

- 5 + 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) = 0

Sea:

sin (2 x) = u

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0 : u = \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = - \frac{2 + 3 6}{10}

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} + 4 u - 5 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

10 u^{2} + 4 u - 5 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 10, b = 4, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 5 )}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 5 )}{2 \cdot 10}

4^{2} - 4 \cdot 10 (- 5) = 66

4^{2} - 4 \cdot 10 (- 5)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 5

Multiplicar os números:

4 \cdot 10 \cdot 5 = 200

= 4^{2} + 200

4^{2} = 16

= 16 + 200

Somar:

16 + 200 = 216

= 216

Decomposição em fatores primos de

216 : 2^{3} \cdot 3^{3}

216

216

dividida por

2216 = 108 \cdot 2

= 2 \cdot 108

108

dividida por

2108 = 54 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 54

54

dividida por

254 = 27 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

dividida por

327 = 9 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

dividida por

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{3}

= 2^{3} \cdot 3^{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{2} 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 2 \cdot 3

Simplificar

= 66

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 6 6}{2 \cdot 10}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10}

u = \frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10} : \frac{- 2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10}

Multiplicar os números:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 + 6 6}{20}

Fatorar

- 4 + 66 : 2 (- 2 + 36)

- 4 + 66

Reescrever como

= - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 36

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- 2 + 36)

= \frac{2 ( - 2 + 3 6 )}{20}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{- 2 + 3 6}{10}

u = \frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10} : - \frac{2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10}

Multiplicar os números:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 - 6 6}{20}

Fatorar

- 4 - 66 : - 2 (2 + 36)

- 4 - 66

Reescrever como

= - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 36

Fatorar o termo comum

2

= - 2 (2 + 36)

= - \frac{2 ( 2 + 3 6 )}{20}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{2 + 3 6}{10}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = - \frac{2 + 3 6}{10}

Substituir na equação

u = sin (2 x)

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}, sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}, sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10} : x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

Soluções gerais para

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Resolver

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Resolver

2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10} : x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

Soluções gerais para

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Resolver

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn : - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Utilizar a seguinte propriedade:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) = - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10})

= - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

2 x = - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Resolver

2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

\frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Verdadeiro

\frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Inserir

n = 1

\frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Para

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

inserir

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec 2 \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Falso

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Inserir

n = 1

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Para

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

inserir

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec 2 \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Simplificar

- 6 = 0

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

- \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Verdadeiro

- \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Inserir

n = 1

- \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Para

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

inserir

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec 2 - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Falso

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Inserir

n = 1

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Para

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

inserir

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec 2 \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Simplificar

- 6 = 0

\Rightarrow Falso

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = \frac{0.56432 \dots}{2} + πn, x = - \frac{1.20782 \dots}{2} + πn

Gráfico

Exemplos populares

solvefor x,5=9.4cos(x)

so l v e f or x, 5 = 9.4 cos (x)

20=2.891sin(0.016d-1.183)+18.512

20 = 2.891 sin (0.016 d - 1.183) + 18.512

2sin(θ)=-1,0<= θ<2pi

2 sin (θ) = - 1, 0 \leq θ < 2 π

cos(16x)=0

cos (16 x) = 0

sin(θ)=-(sqrt(35))/6

sin (θ) = - \frac{35}{6}