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Beliebt Trigonometrie >

cot(θ)+2csc(θ)=4,0<= θ<= 360

Lösung

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4, 0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Lösung

θ = 0.75142 \dots, θ = 2.88012 \dots

Schritte zur Lösung

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4, 0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

cot (θ) + 2 csc (θ) - 4 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 4 = 0

Vereinfache

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 4 : \frac{cos ( θ ) + 2 - 4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 4

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{2}{sin ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{2}{sin ( θ )} - 4

Ziehe Brüche zusammen

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{2}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - 4

Wandle das Element in einen Bruch um:

4 = \frac{4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - \frac{4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 2 - 4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 2 - 4 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 2 - 4 sin (θ) = 0

Füge

4 sin (θ)

zu beiden Seiten hinzu

cos (θ) + 2 = 4 sin (θ)

Quadriere beide Seiten

(cos (θ) + 2)^{2} = (4 sin (θ))^{2}

Subtrahiere

(4 sin (θ))^{2}

von beiden Seiten

(cos (θ) + 2)^{2} - 16 sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(2 + cos (θ))^{2} - 16 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 + cos (θ))^{2} - 16 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

(2 + cos (θ))^{2} - 16 (1 - cos^{2} (θ)) : 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

(2 + cos (θ))^{2} - 16 (1 - cos^{2} (θ))

(2 + cos (θ))^{2} : 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 2, b = cos (θ)

= 2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Vereinfache

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} = 4

= 4 + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 16 (1 - cos^{2} (θ)) : - 16 + 16 cos^{2} (θ)

- 16 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 16, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 16 \cdot 1 - (- 16) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 16 \cdot 1 + 16 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 1 = 16

= - 16 + 16 cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 + 16 cos^{2} (θ)

Vereinfache

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 + 16 cos^{2} (θ) : 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 + 16 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 16 cos^{2} (θ) + 4 - 16

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (θ) + 16 cos^{2} (θ) = 17 cos^{2} (θ)

= 4 cos (θ) + 17 cos^{2} (θ) + 4 - 16

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

4 - 16 = - 12

= 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

= 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

= 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

- 12 + 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 12 + 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 12 + 17 u^{2} + 4 u = 0

- 12 + 17 u^{2} + 4 u = 0 : u = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, u = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

- 12 + 17 u^{2} + 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

17 u^{2} + 4 u - 12 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

17 u^{2} + 4 u - 12 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 17, b = 4, c = - 12

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 17 ( - 12 )}{2 \cdot 17}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 17 ( - 12 )}{2 \cdot 17}

4^{2} - 4 \cdot 17 (- 12) = 813

4^{2} - 4 \cdot 17 (- 12)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 17 \cdot 12

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 17 \cdot 12 = 816

= 4^{2} + 816

4^{2} = 16

= 16 + 816

Addiere die Zahlen:

16 + 816 = 832

= 832

Primfaktorzerlegung von

832 : 2^{6} \cdot 13

832

832

ist durch

2832 = 416 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 416

416

ist durch

2416 = 208 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 208

208

ist durch

2208 = 104 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 104

104

ist durch

2104 = 52 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 52

52

ist durch

252 = 26 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 26

26

ist durch

226 = 13 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 13 2^{6}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 13

Fasse zusammen

= 813

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 8 13}{2 \cdot 17}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 8 13}{2 \cdot 17}, u_{2} = \frac{- 4 - 8 13}{2 \cdot 17}

u = \frac{- 4 + 8 13}{2 \cdot 17} : \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

\frac{- 4 + 8 13}{2 \cdot 17}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{- 4 + 8 13}{34}

Faktorisiere

- 4 + 813 : 4 (- 1 + 213)

- 4 + 813

Schreibe um

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 213

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (- 1 + 213)

= \frac{4 ( - 1 + 2 13 )}{34}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

u = \frac{- 4 - 8 13}{2 \cdot 17} : - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

\frac{- 4 - 8 13}{2 \cdot 17}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{- 4 - 8 13}{34}

Faktorisiere

- 4 - 813 : - 4 (1 + 213)

- 4 - 813

Schreibe um

= - 4 \cdot 1 - 4 \cdot 213

Klammere gleiche Terme aus

4

= - 4 (1 + 213)

= - \frac{4 ( 1 + 2 13 )}{34}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, u = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ} : θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} - arccos (a) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

Lösungen für den Bereich

0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ} : θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}), θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 36 0^{\circ} n, x = - arccos (- a) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

Lösungen für den Bereich

0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}), θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}), θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) :

Wahr

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Setze

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

ein, um zu lösen

cot (arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) + 2 csc (arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) :

Falsch

36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Setze ein

n = 1

36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Setze

θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

ein, um zu lösen

cot (36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) + 2 csc (36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) = 4

Fasse zusammen

- 4 = 4

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) :

Wahr

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

Setze

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

ein, um zu lösen

cot (arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})) + 2 csc (arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} :

Falsch

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Setze

θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

ein, um zu lösen

cot (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}) + 2 csc (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}) = 4

Fasse zusammen

- 4 = 4

\Rightarrow Falsch

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.75142 \dots, θ = 2.88012 \dots

Graph

Beliebte Beispiele

4sin(x)=2sqrt(3)

4 sin (x) = 23

sin(x)=180

sin (x) = 180

2sin^2(x)-3cos(-x)-3=0

2 sin^{2} (x) - 3 cos (- x) - 3 = 0

49.55cos(θ)-30sin(θ)=1.225

49.55 cos (θ) - 30 sin (θ) = 1.225

tan(2x)+sin(2x)+cos(2x)=sec(2x)

tan (2 x) + sin (2 x) + cos (2 x) = sec (2 x)