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Popolare Trigonometria >

cot(θ)+2csc(θ)=4,0<= θ<= 360

Soluzione

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4, 0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Soluzione

θ = 0.75142 \dots, θ = 2.88012 \dots

Fasi della soluzione

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4, 0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Sottrarre

4

da entrambi i lati

cot (θ) + 2 csc (θ) - 4 = 0

Esprimere con sen e cos

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 4 = 0

Semplifica

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 4 : \frac{cos ( θ ) + 2 - 4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 4

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{2}{sin ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( θ )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{2}{sin ( θ )} - 4

Combinare le frazioni

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{2}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - 4

Converti l'elemento in frazione:

4 = \frac{4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - \frac{4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 2 - 4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 2 - 4 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 2 - 4 sin (θ) = 0

Aggiungi

4 sin (θ)

ad entrambi i lati

cos (θ) + 2 = 4 sin (θ)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(cos (θ) + 2)^{2} = (4 sin (θ))^{2}

Sottrarre

(4 sin (θ))^{2}

da entrambi i lati

(cos (θ) + 2)^{2} - 16 sin^{2} (θ) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(2 + cos (θ))^{2} - 16 sin^{2} (θ)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 + cos (θ))^{2} - 16 (1 - cos^{2} (θ))

Semplificare

(2 + cos (θ))^{2} - 16 (1 - cos^{2} (θ)) : 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

(2 + cos (θ))^{2} - 16 (1 - cos^{2} (θ))

(2 + cos (θ))^{2} : 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 2, b = cos (θ)

= 2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Semplifica

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} = 4

= 4 + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 (1 - cos^{2} (θ))

Espandi

- 16 (1 - cos^{2} (θ)) : - 16 + 16 cos^{2} (θ)

- 16 (1 - cos^{2} (θ))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 16, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 16 \cdot 1 - (- 16) cos^{2} (θ)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 16 \cdot 1 + 16 cos^{2} (θ)

Moltiplica i numeri:

16 \cdot 1 = 16

= - 16 + 16 cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 + 16 cos^{2} (θ)

Semplifica

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 + 16 cos^{2} (θ) : 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 + 16 cos^{2} (θ)

Raggruppa termini simili

= 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 16 cos^{2} (θ) + 4 - 16

Aggiungi elementi simili:

cos^{2} (θ) + 16 cos^{2} (θ) = 17 cos^{2} (θ)

= 4 cos (θ) + 17 cos^{2} (θ) + 4 - 16

Aggiungi/Sottrai i numeri:

4 - 16 = - 12

= 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

= 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

= 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

- 12 + 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

Risolvi per sostituzione

- 12 + 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

Sia:

cos (θ) = u

- 12 + 17 u^{2} + 4 u = 0

- 12 + 17 u^{2} + 4 u = 0 : u = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, u = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

- 12 + 17 u^{2} + 4 u = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

17 u^{2} + 4 u - 12 = 0

Risolvi con la formula quadratica

17 u^{2} + 4 u - 12 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 17, b = 4, c = - 12

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 17 ( - 12 )}{2 \cdot 17}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 17 ( - 12 )}{2 \cdot 17}

4^{2} - 4 \cdot 17 (- 12) = 813

4^{2} - 4 \cdot 17 (- 12)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 17 \cdot 12

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 17 \cdot 12 = 816

= 4^{2} + 816

4^{2} = 16

= 16 + 816

Aggiungi i numeri:

16 + 816 = 832

= 832

Fattorizzazione prima di

832 : 2^{6} \cdot 13

832

832

diviso per

2832 = 416 \cdot 2

= 2 \cdot 416

416

diviso per

2416 = 208 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 208

208

diviso per

2208 = 104 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 104

104

diviso per

2104 = 52 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 52

52

diviso per

252 = 26 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 26

26

diviso per

226 = 13 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 13 2^{6}

Applicare la regola della radice:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 13

Affinare

= 813

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 8 13}{2 \cdot 17}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 4 + 8 13}{2 \cdot 17}, u_{2} = \frac{- 4 - 8 13}{2 \cdot 17}

u = \frac{- 4 + 8 13}{2 \cdot 17} : \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

\frac{- 4 + 8 13}{2 \cdot 17}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{- 4 + 8 13}{34}

Fattorizza

- 4 + 813 : 4 (- 1 + 213)

- 4 + 813

Riscrivi come

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 213

Fattorizzare dal termine comune

4

= 4 (- 1 + 213)

= \frac{4 ( - 1 + 2 13 )}{34}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

u = \frac{- 4 - 8 13}{2 \cdot 17} : - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

\frac{- 4 - 8 13}{2 \cdot 17}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{- 4 - 8 13}{34}

Fattorizza

- 4 - 813 : - 4 (1 + 213)

- 4 - 813

Riscrivi come

= - 4 \cdot 1 - 4 \cdot 213

Fattorizzare dal termine comune

4

= - 4 (1 + 213)

= - \frac{4 ( 1 + 2 13 )}{34}

Cancella il fattore comune:

2

= - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, u = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Sostituire indietro

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ} : θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Soluzioni generali per

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} - arccos (a) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ} : θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}), θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Soluzioni generali per

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 36 0^{\circ} n, x = - arccos (- a) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}), θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Combinare tutte le soluzioni

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}), θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) :

Vero

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Inserire in

n = 1

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Per

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

inserisci la

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cot (arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) + 2 csc (arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) = 4

Affinare

4 = 4

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) :

Falso

36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Inserire in

n = 1

36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Per

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

inserisci la

θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cot (36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) + 2 csc (36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) = 4

Affinare

- 4 = 4

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) :

Vero

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

Inserire in

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

Per

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

inserisci la

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

cot (arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})) + 2 csc (arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})) = 4

Affinare

4 = 4

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} :

Falso

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Inserire in

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Per

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

inserisci la

θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

cot (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}) + 2 csc (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}) = 4

Affinare

- 4 = 4

\Rightarrow Falso

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

Mostra le soluzioni in forma decimale

θ = 0.75142 \dots, θ = 2.88012 \dots

Grafico

Esempi popolari

4sin(x)=2sqrt(3)

4 sin (x) = 23

sin(x)=180

sin (x) = 180

2sin^2(x)-3cos(-x)-3=0

2 sin^{2} (x) - 3 cos (- x) - 3 = 0

49.55cos(θ)-30sin(θ)=1.225

49.55 cos (θ) - 30 sin (θ) = 1.225

tan(2x)+sin(2x)+cos(2x)=sec(2x)

tan (2 x) + sin (2 x) + cos (2 x) = sec (2 x)