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Beliebt Trigonometrie >

sin(x)+sqrt(3)cos(x)=sqrt(3)

Lösung

sin (x) + 3 cos (x) = 3

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (x) + 3 cos (x) = 3

Subtrahiere

3 cos (x)

von beiden Seiten

sin (x) = 3 - 3 cos (x)

Quadriere beide Seiten

sin^{2} (x) = (3 - 3 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(3 - 3 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

sin^{2} (x) - 3 + 6 cos (x) - 3 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 3 + sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 6 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 3 + 1 - cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 6 cos (x)

Vereinfache

- 3 + 1 - cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 6 cos (x) : 6 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 2

- 3 + 1 - cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 6 cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) = - 4 cos^{2} (x)

= - 3 + 1 - 4 cos^{2} (x) + 6 cos (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 1 = - 2

= 6 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 2

= 6 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 2

- 2 - 4 cos^{2} (x) + 6 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 - 4 cos^{2} (x) + 6 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 2 - 4 u^{2} + 6 u = 0

- 2 - 4 u^{2} + 6 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = 1

- 2 - 4 u^{2} + 6 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 6 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} + 6 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = 6, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 2 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 2 )}{2 ( - 4 )}

6^{2} - 4 (- 4) (- 2) = 2

6^{2} - 4 (- 4) (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 6^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 6^{2} - 32

6^{2} = 36

= 36 - 32

Subtrahiere die Zahlen:

36 - 32 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 2}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 + 2}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 2}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 6 + 2}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 6 + 2}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 2}{- 2 \cdot 4}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 6 + 2 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 6 - 2}{2 ( - 4 )} : 1

\frac{- 6 - 2}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 2}{- 2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

- 6 - 2 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{8}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

sin (x) + 3 cos (x) = 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{3} + 2 π 1

sin (x) + 3 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

sin (\frac{π}{3} + 2 π 1) + 3 cos (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

sin (x) + 3 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) + 3 cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

0 = 1.73205 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

sin (x) + 3 cos (x) = 3

ein, um zu lösen

sin (2 π 1) + 3 cos (2 π 1) = 3

Fasse zusammen

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Wahr

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(sin(2x))/(4sin(2x)-1)=1

\frac{sin ( 2 x )}{4 sin ( 2 x ) - 1} = 1

2cos(θ)sin(θ)=sin(θ)

2 cos (θ) sin (θ) = sin (θ)

4cos(x)=sec(x)

4 cos (x) = sec (x)

9.6=11.6cos(3.922t)

9.6 = 11.6 cos (3.922 t)

cos(θ)=0.5632

cos (θ) = 0.5632