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cos(θ)<0\land (cos(θ))(sin(θ))<0

Solução

cos (θ) < 0 and (cos (θ)) (sin (θ)) < 0

Solução

- \frac{π}{2} + 2 πn < θ < 2 πn

Notação de intervalo

(- \frac{π}{2} + 2 πn, 2 πn)

Decimal

- 1.57079 \dots + 2 πn < θ < 2 πn

Passos da solução

cos (θ) < 0 and (cos (θ)) (sin (θ)) < 0

cos (θ) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) < 0

Para

cos (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

então

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < θ < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Simplificar

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Simplificar

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

Simplificar

2 π - \frac{π}{2}

Converter para fração:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

Somar elementos similares:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) sin (θ) < 0 : - \frac{π}{2} + πn < θ < πn

cos (θ) sin (θ) < 0

Usar a seguinte identidade:

2 cos (x) sin (x) = sin (2 x)

Portanto

cos (x) sin (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

\frac{sin ( 2 θ )}{2} < 0

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{sin ( 2 θ )}{2} < 0

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( 2 θ )}{2} < 0 \cdot 2

Simplificar

sin (2 θ) < 0

sin (2 θ) < 0

Para

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

então

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < 2 θ < arcsin (0) + 2 πn

a < u < b

então

a < u and u < b

- π - arcsin (0) + 2 πn < 2 θ and 2 θ < arcsin (0) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < 2 θ : θ > πn - \frac{π}{2}

- π - arcsin (0) + 2 πn < 2 θ

Trocar lados

2 θ > - π - arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (0) + 2 πn : 2 πn - π

- π - arcsin (0) + 2 πn

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0 + 2 πn

- π - 0 + 2 πn = - π + 2 πn

= 2 πn - π

2 θ > 2 πn - π

Dividir ambos os lados por

2

2 θ > 2 πn - π

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 θ}{2} > \frac{2 πn}{2} - \frac{π}{2}

Simplificar

θ > πn - \frac{π}{2}

θ > πn - \frac{π}{2}

2 θ < arcsin (0) + 2 πn : θ < πn

2 θ < arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

arcsin (0) + 2 πn : 2 πn

arcsin (0) + 2 πn

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

= 2 πn

2 θ < 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 θ < 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 θ}{2} < \frac{2 πn}{2}

Simplificar

θ < πn

θ < πn

Combinar os intervalos

θ > πn - \frac{π}{2} and θ < πn

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{π}{2} + πn < θ < πn

Combinar os intervalos

\frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn and - \frac{π}{2} + πn < θ < πn

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{π}{2} + 2 πn < θ < 2 πn

Exemplos populares

cosh(θ)= 15/4 \land θ<0,sinh(θ)

cosh (θ) = \frac{15}{4} and θ < 0, sinh (θ)

2pi>sqrt(3)tan(θ)+1>= 0

2 π > 3 tan (θ) + 1 \geq 0

sin(3x)0<= x<= 2pi

sin (3 x) 0 \leq x \leq 2 π

tan(θ)=-32\land csc(θ)>0

tan (θ) = - 32 and csc (θ) > 0

sin(θ)<0\land tan(θ)>0

sin (θ) < 0 and tan (θ) > 0