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Popular Trigonometria >

2tan(2x)<= 3tan(x)

Solução

2 tan (2 x) \leq 3 tan (x)

Solução

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x \leq π + πn

Notação de intervalo

(\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

Decimal

0.78539 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x \leq 3.14159 \dots + πn

Passos da solução

2 tan (2 x) \leq 3 tan (x)

Mova

3 tan (x)

para o lado esquerdo

2 tan (2 x) \leq 3 tan (x)

Subtrair

3 tan (x)

de ambos os lados

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 3 tan (x) - 3 tan (x)

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 0

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 0

Periodicidade de

2 tan (2 x) - 3 tan (x) : π

A periodicidade composta da soma das funções periódicas é o menor multiplicador comum dos períodos

2 tan (2 x), 3 tan (x)

Periodicidade de

2 tan (2 x) : \frac{π}{2}

Periodicidade de

a \cdot tan (b x + c) + d = \frac{periodicidade de tan ( x )}{∣ b ∣}

Periodicidade da

tan (x)

π

= \frac{π}{∣ 2 ∣}

Simplificar

= \frac{π}{2}

Periodicidade de

3 tan (x) : π

Periodicidade de

a \cdot tan (b x + c) + d = \frac{periodicidade de tan ( x )}{∣ b ∣}

Periodicidade da

tan (x)

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

Simplificar

= π

Juntar períodos:

\frac{π}{2}, π

= π

Expresar com seno, cosseno

2 tan (2 x) - 3 tan (x) \leq 0

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 tan (x) \leq 0

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \leq 0

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Simplificar

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2}{cos ( 2 x )}

= \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

= \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

cos (2 x), cos (x) : cos (2 x) cos (x)

cos (2 x), cos (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

cos (2 x)

quanto em

cos (x)

= cos (2 x) cos (x)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{sin ( 2 x ) \cdot 2}{cos ( 2 x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (x)

\frac{sin ( 2 x ) \cdot 2}{cos ( 2 x )} = \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

Para

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (2 x)

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2 cos ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} - \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2 cos ( x ) - sin ( x ) \cdot 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} \leq 0

Encontre os zeros e pontos indefinidos de

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

para

0 \leq x < π

Para encontrar os zeros, defina a desigualdade como zero

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} = 0

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = 0

\frac{2 sin ( 2 x ) cos ( x ) - 3 sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin (2 x) cos (x) - 3 sin (x) cos (2 x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

2 cos (x) sin (2 x) - 3 cos (2 x) sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) - 3 cos (2 x) sin (x)

2 cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 4 cos^{2} (x) sin (x)

2 cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4 cos (x) sin (x) cos (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 4 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= 4 sin (x) cos^{2} (x)

= 4 cos^{2} (x) sin (x) - 3 cos (2 x) sin (x)

- 3 cos (2 x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin (x) = 0

Fatorar

- 3 cos (2 x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin (x) : sin (x) (- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x))

- 3 cos (2 x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin (x)

Fatorar o termo comum

sin (x)

= sin (x) (- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x))

sin (x) (- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x)) = 0

Resolver cada parte separadamente

sin (x) = 0 or - 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x) = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluções gerais para

sin (x) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq x < π

x = 0

- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x) = 0, 0 \leq x < π :

Sem solução

- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x) = 0, 0 \leq x < π

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 3 cos (2 x) + 4 cos^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 3 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos^{2} (x)

Simplificar

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos^{2} (x) : - 2 cos^{2} (x) + 3

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos^{2} (x)

Expandir

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1) : - 6 cos^{2} (x) + 3

- 3 (2 cos^{2} (x) - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= - 3 \cdot 2 cos^{2} (x) - (- 3) \cdot 1

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 3 \cdot 2 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1

Simplificar

- 3 \cdot 2 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1 : - 6 cos^{2} (x) + 3

- 3 \cdot 2 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1

Multiplicar os números:

3 \cdot 2 = 6

= - 6 cos^{2} (x) + 3 \cdot 1

Multiplicar os números:

3 \cdot 1 = 3

= - 6 cos^{2} (x) + 3

= - 6 cos^{2} (x) + 3

= - 6 cos^{2} (x) + 3 + 4 cos^{2} (x)

Simplificar

- 6 cos^{2} (x) + 3 + 4 cos^{2} (x) : - 2 cos^{2} (x) + 3

- 6 cos^{2} (x) + 3 + 4 cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= - 6 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) + 3

Somar elementos similares:

- 6 cos^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) + 3

= - 2 cos^{2} (x) + 3

= - 2 cos^{2} (x) + 3

3 - 2 cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

3 - 2 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

3 - 2 u^{2} = 0

3 - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

3 - 2 u^{2} = 0

Mova

3

para o lado direito

3 - 2 u^{2} = 0

Subtrair

3

de ambos os lados

3 - 2 u^{2} - 3 = 0 - 3

Simplificar

- 2 u^{2} = - 3

- 2 u^{2} = - 3

Dividir ambos os lados por

- 2

- 2 u^{2} = - 3

Dividir ambos os lados por

- 2

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}

Simplificar

u^{2} = \frac{3}{2}

u^{2} = \frac{3}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = \frac{3}{2}, 0 \leq x < π :

Sem solução

cos (x) = \frac{3}{2}, 0 \leq x < π

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = - \frac{3}{2}, 0 \leq x < π :

Sem solução

cos (x) = - \frac{3}{2}, 0 \leq x < π

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = 0

Encontre os pontos indefinidos:

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{2}

Encontre os zeros do denominador

cos (2 x) cos (x) = 0

Resolver cada parte separadamente

cos (2 x) = 0 or cos (x) = 0

cos (2 x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

cos (2 x) = 0, 0 \leq x < π

Soluções gerais para

cos (2 x) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Resolver

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Resolver

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Soluções para o intervalo

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluções gerais para

cos (x) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{2}

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Identifique os intervalos

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Resumir em uma tabela:

2 sin (2 x) cos (x) - 3 sin (x) cos (2 x) cos (2 x) cos (x) \frac{2 s i n ( 2 x ) c o s ( x ) - 3 s i n ( x ) c o s ( 2 x )}{c o s ( 2 x ) c o s ( x )} x = 0 0 + + 0 0 < x < \frac{π}{4} + + + + x = \frac{π}{4} + 0 + Indefinido \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} + - + - x = \frac{π}{2} + - 0 Indefinido \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} + - - + x = \frac{3 π}{4} + 0 - Indefinido \frac{3 π}{4} < x < π + + - - x = π 0 + - 0

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\leq 0

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Junte intervalos que se sobrepoem

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

x = 0

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

\frac{3 π}{4} < x < π

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

x = π

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x \leq π

x = 0 or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x \leq π

Utilizar a periodicidade de

2 tan (2 x) - 3 tan (x)

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x \leq π + πn

Exemplos populares

1/((sin(x))^2)< 4/3 ,0<x< pi/(15)

\frac{1}{( sin ( x ) ) ^{2}} < \frac{4}{3}, 0 < x < \frac{π}{15}

cos^2(x)<sin^2(x)

cos^{2} (x) < sin^{2} (x)

sin(x-45)> 1/2 sqrt(3),0<= x<= 360

sin (x - 4 5^{\circ}) > \frac{1}{2} 3, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

2sin^2(x)>-1

2 sin^{2} (x) > - 1

sin(θ)+cos(θ)+1>0

sin (θ) + cos (θ) + 1 > 0