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Beliebt Trigonometrie >

1/((sin(x))^2)< 4/3 ,0<x< pi/(15)

Lösung

\frac{1}{( sin ( x ) ) ^{2}} < \frac{4}{3}, 0 < x < \frac{π}{15}

Lösung

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or - \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn) \cup (- \frac{2 π}{3} + 2 πn, - \frac{π}{3} + 2 πn)

Dezimale

1.04719 \dots + 2 πn < x < 2.09439 \dots + 2 πn or - 2.09439 \dots + 2 πn < x < - 1.04719 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

\frac{1}{( sin ( x ) ) ^{2}} < \frac{4}{3}, 0 < x < \frac{π}{15}

Rewrite in standard form

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} < \frac{4}{3}

Subtrahiere

\frac{4}{3}

von beiden Seiten

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3} < \frac{4}{3} - \frac{4}{3}

Vereinfache

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3} < 0

Vereinfache

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3} : \frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin^{2} (x), 3 : 3 sin^{2} (x)

sin^{2} (x), 3

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sin^{2} (x)

oder

3

auftauchen.

= 3 sin^{2} (x)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

3 sin^{2} (x)

Für

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot 3}{sin ^{2} ( x ) \cdot 3} = \frac{3}{3 sin ^{2} ( x )}

Für

\frac{4}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin^{2} (x)

\frac{4}{3} = \frac{4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

= \frac{3}{3 sin ^{2} ( x )} - \frac{4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )} < 0

Multipliziere beide Seiten mit

3

\frac{3 ( 3 - 4 sin ^{2} ( x ) )}{3 sin ^{2} ( x )} < 0 \cdot 3

Vereinfache

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} < 0

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} < 0

Faktorisiere

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{- ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Faktorisiere

- 4 sin^{2} (x) + 3 : - (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

- 4 sin^{2} (x) + 3

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (4 sin^{2} (x) - 3)

Faktorisiere

4 sin^{2} (x) - 3 : (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

4 sin^{2} (x) - 3

Schreibe

4 sin^{2} (x) - 3

um:

(2 sin (x))^{2} - (3)^{2}

4 sin^{2} (x) - 3

Schreibe

4

um:

2^{2}

= 2^{2} sin^{2} (x) - 3

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= 2^{2} sin^{2} (x) - (3)^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} sin^{2} (x) = (2 sin (x))^{2}

= (2 sin (x))^{2} - (3)^{2}

= (2 sin (x))^{2} - (3)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (x))^{2} - (3)^{2} = (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

= (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

= - (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

= \frac{- ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{- ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )} < 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

\frac{( - ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 ) ) ( - 1 )}{sin ^{2} ( x )} > 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

\frac{( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )} > 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )}

Finde die Vorzeichen von

2 sin (x) + 3

2 sin (x) + 3 = 0 : sin (x) = - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 sin (x) + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

2 sin (x) + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

2 sin (x) = - 3

2 sin (x) = - 3

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) = - 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{- 3}{2}

Vereinfache

sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x) = - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 < 0 : sin (x) < - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 sin (x) + 3 < 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

2 sin (x) + 3 - 3 < 0 - 3

Vereinfache

2 sin (x) < - 3

2 sin (x) < - 3

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) < - 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} < \frac{- 3}{2}

Vereinfache

sin (x) < - \frac{3}{2}

sin (x) < - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 > 0 : sin (x) > - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 sin (x) + 3 > 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

2 sin (x) + 3 - 3 > 0 - 3

Vereinfache

2 sin (x) > - 3

2 sin (x) > - 3

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) > - 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} > \frac{- 3}{2}

Vereinfache

sin (x) > - \frac{3}{2}

sin (x) > - \frac{3}{2}

Finde die Vorzeichen von

2 sin (x) - 3

2 sin (x) - 3 = 0 : sin (x) = \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 sin (x) - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 sin (x) - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

2 sin (x) = 3

2 sin (x) = 3

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) = 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{3}{2}

Vereinfache

sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 < 0 : sin (x) < \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 sin (x) - 3 < 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 sin (x) - 3 + 3 < 0 + 3

Vereinfache

2 sin (x) < 3

2 sin (x) < 3

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) < 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} < \frac{3}{2}

Vereinfache

sin (x) < \frac{3}{2}

sin (x) < \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 > 0 : sin (x) > \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 sin (x) - 3 > 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 sin (x) - 3 + 3 > 0 + 3

Vereinfache

2 sin (x) > 3

2 sin (x) > 3

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) > 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} > \frac{3}{2}

Vereinfache

sin (x) > \frac{3}{2}

sin (x) > \frac{3}{2}

Finde die Vorzeichen von

sin^{2} (x)

sin^{2} (x) = 0 : sin (x) = 0

sin^{2} (x) = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

sin (x) = 0

sin^{2} (x) > 0 : sin (x) < 0 or sin (x) > 0

sin^{2} (x) > 0

Für

u^{n} > 0

, wenn

n

ist gerade dann

u < 0

u > 0

sin (x) < 0 or sin (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

sin^{2} (x) :

Keine Lösung

sin^{2} (x) = 0

Die Seiten sind nicht gleich

Keine L \overset{o}{¨} sung

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 sin (x) + 3 2 sin (x) - 3 sin^{2} (x) \frac{( 2 s i n ( x ) + 3 ) ( 2 s i n ( x ) - 3 )}{s i n ^{2} ( x )} sin (x) < - \frac{3}{2} - - + + sin (x) = - \frac{3}{2} 0 - + 0 - \frac{3}{2} < sin (x) < 0 + - + - sin (x) = 0 + - 0 Unbestimmt 0 < sin (x) < \frac{3}{2} + - + - sin (x) = \frac{3}{2} + 0 + 0 sin (x) > \frac{3}{2} + + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

sin (x) < - \frac{3}{2} or sin (x) > \frac{3}{2}

sin (x) < - \frac{3}{2} or sin (x) > \frac{3}{2}

sin (x) < - \frac{3}{2} : - \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) < - \frac{3}{2}

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{3}{2}) + 2 πn < x < arcsin (- \frac{3}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (- \frac{3}{2}) : - \frac{2 π}{3}

- π - arcsin (- \frac{3}{2})

arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}

arcsin (- \frac{3}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{3}{2}) = - arcsin (\frac{3}{2})

= - arcsin (\frac{3}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

= - \frac{π}{3}

= - π - (- \frac{π}{3})

Vereinfache

- π - (- \frac{π}{3})

Wende Regel an

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} + \frac{π}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + π}{3}

Addiere gleiche Elemente:

- 3 π + π = - 2 π

= \frac{- 2 π}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 π}{3}

= - \frac{2 π}{3}

Vereinfache

arcsin (- \frac{3}{2}) : - \frac{π}{3}

arcsin (- \frac{3}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{3}{2}) = - arcsin (\frac{3}{2})

= - arcsin (\frac{3}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

= - \frac{π}{3}

- \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) > \frac{3}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (x) > \frac{3}{2}

Für

sin (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Vereinfache

π - arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{2 π}{3}

π - arcsin (\frac{3}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{3}

Vereinfache

π - \frac{π}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 3}{3}

= \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 - π}{3}

Addiere gleiche Elemente:

3 π - π = 2 π

= \frac{2 π}{3}

= \frac{2 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or - \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos^2(x)<sin^2(x)

cos^{2} (x) < sin^{2} (x)

sin(x-45)> 1/2 sqrt(3),0<= x<= 360

sin (x - 4 5^{\circ}) > \frac{1}{2} 3, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

2sin^2(x)>-1

2 sin^{2} (x) > - 1

sin(θ)+cos(θ)+1>0

sin (θ) + cos (θ) + 1 > 0

-cos(x)-4sin(2x)<0

- cos (x) - 4 sin (2 x) < 0