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Beliebt Trigonometrie >

(2sin(x)-1)(-2cos(x)+sqrt(2))<= 0

Lösung

(2 sin (x) - 1) (- 2 cos (x) + 2) \leq 0

Lösung

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{4} + 2 πn

Intervall-Notation

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn] \cup [\frac{5 π}{6} + 2 πn, \frac{7 π}{4} + 2 πn]

Dezimale

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.78539 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn \leq x \leq 5.49778 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

(2 sin (x) - 1) (- 2 cos (x) + 2) \leq 0

Periodizität von

(2 sin (x) - 1) (- 2 cos (x) + 2) : 2 π

(2 sin (x) - 1) (- 2 cos (x) + 2)

besteht aus den folgenden Funktionen und Perioden:

sin (x)

mit Periodizität von

2 π

Die zusammengesetzte Periodizität ist:

= 2 π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

(2 sin (x) - 1) (- 2 cos (x) + 2) = 0

Stelle

(2 sin (x) - 1) (- 2 cos (x) + 2) = 0

nach

0 \leq x < 2 π

(2 sin (x) - 1) (- 2 cos (x) + 2) = 0

Löse jeden Teil einzeln

2 sin (x) - 1 = 0 : x = \frac{π}{6} or x = \frac{5 π}{6}

2 sin (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 sin (x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 sin (x) = 1

2 sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

- 2 cos (x) + 2 = 0 : x = \frac{π}{4} or x = \frac{7 π}{4}

- 2 cos (x) + 2 = 0, 0 \leq x < 2 π

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

- 2 cos (x) + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

- 2 cos (x) + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

- 2 cos (x) = - 2

- 2 cos (x) = - 2

Teile beide Seiten durch

- 2

- 2 cos (x) = - 2

Teile beide Seiten durch

- 2

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}

Vereinfache

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{7 π}{4}

Kombiniere alle Lösungen

\frac{π}{6} or \frac{π}{4} or \frac{5 π}{6} or \frac{7 π}{4}

Die Intervalle zwischen den Nullstellen

0 < x < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < \frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{4} < x < 2 π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 sin (x) - 1 - 2 cos (x) + 2 (2 sin (x) - 1) (- 2 cos (x) + 2) x = 0 - - + 0 < x < \frac{π}{6} - - + x = \frac{π}{6} 0 - 0 \frac{π}{6} < x < \frac{π}{4} + - - x = \frac{π}{4} + 00 \frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{6} + + + x = \frac{5 π}{6} 0 + 0 \frac{5 π}{6} < x < \frac{7 π}{4} - + - x = \frac{7 π}{4} - 00 \frac{7 π}{4} < x < 2 π - - + x = 2 π - - +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

x = \frac{π}{6} or \frac{π}{6} < x < \frac{π}{4} or x = \frac{π}{4} or x = \frac{5 π}{6} or \frac{5 π}{6} < x < \frac{7 π}{4} or x = \frac{7 π}{4}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4} or \frac{5 π}{6} \leq x < \frac{7 π}{4} or x = \frac{7 π}{4}