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人気のある三角関数 >

(2sin(2x)-1)/(cos(2x)-3cos(x)+2)>= 0

解

\frac{2 sin ( 2 x ) - 1}{cos ( 2 x ) - 3 cos ( x ) + 2} \geq 0

解

2 πn < x \leq \frac{π}{12} + 2 πn or \frac{π}{3} + 2 πn < x \leq \frac{5 π}{12} + 2 πn or \frac{13 π}{12} + 2 πn \leq x \leq \frac{17 π}{12} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

+2

区間表記

(2 πn, \frac{π}{12} + 2 πn] \cup (\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{5 π}{12} + 2 πn] \cup [\frac{13 π}{12} + 2 πn, \frac{17 π}{12} + 2 πn] \cup (\frac{5 π}{3} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

十進法表記

2 πn < x \leq 0.26179 \dots + 2 πn or 1.04719 \dots + 2 πn < x \leq 1.30899 \dots + 2 πn or 3.40339 \dots + 2 πn \leq x \leq 4.45058 \dots + 2 πn or 5.23598 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

解答ステップ

\frac{2 sin ( 2 x ) - 1}{cos ( 2 x ) - 3 cos ( x ) + 2} \geq 0

次の恒等を使用する:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )} \geq 0

以下の周期性:

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )} : 2 π

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )}

は以下の関数と周期で構成されている:

sin (2 x)

以下の周期性を伴う:

\frac{2 π}{2}

複合周期性は:

= 2 π

以下の

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )}

のゼロと未定義ポイントを求める

0 \leq x < 2 π

ゼロを求めるには, 不等式をゼロに設定する

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )} = 0

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}, x = \frac{13 π}{12}, x = \frac{17 π}{12}

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

1

を右側に移動します

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

両辺に

1

を足す

- 1 + 2 sin (2 x) + 1 = 0 + 1

簡素化

2 sin (2 x) = 1

2 sin (2 x) = 1

以下で両辺を割る

2

2 sin (2 x) = 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} = \frac{1}{2}

簡素化

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (2 x) = \frac{1}{2}

以下の一般解

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

解く

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn : x = \frac{π}{12} + πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= x

簡素化

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{12} + πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

数を乗じる:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

解く

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn : x = \frac{5 π}{12} + πn

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= x

簡素化

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{12} + πn

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 2}

数を乗じる:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{5 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn, x = \frac{5 π}{12} + πn

範囲の解答

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}, x = \frac{13 π}{12}, x = \frac{17 π}{12}

未定義ポイントを求める:

x = 0, x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

分母のゼロを求める

2 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

2 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 3 cos (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 + cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x)) - 3 cos (x)

簡素化

2 + cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x)) - 3 cos (x) : 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1

2 + cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x)) - 3 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

括弧を分配する

= - (1) - (- cos^{2} (x))

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 2 + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) - 3 cos (x)

簡素化

2 + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) - 3 cos (x) : 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1

2 + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) - 3 cos (x)

条件のようなグループ

= cos^{2} (x) + cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 2 - 1

類似した元を足す:

cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 2 cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 2 - 1

数を足す/引く:

2 - 1 = 1

= 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1

= 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1

= 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1

1 + 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

置換で解く

1 + 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0 : u = 1, u = \frac{1}{2}

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

解くとthe二次式

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 2, b = - 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

数を引く:

9 - 8 = 1

= 1

規則を適用

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 1}{2 \cdot 2}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{3 + 1}{2 \cdot 2}

数を足す:

3 + 1 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

数を乗じる:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

規則を適用

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{3 - 1}{2 \cdot 2}

数を引く:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

数を乗じる:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

共通因数を約分する:

2

= \frac{1}{2}

二次equationの解:

u = 1, u = \frac{1}{2}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π : x = 0

cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π

以下の一般解

cos (x) = 1

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

解く

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

範囲の解答

0 \leq x < 2 π

x = 0

cos (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

cos (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π

以下の一般解

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

範囲の解答

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

すべての解を組み合わせる

x = 0, x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

0, \frac{π}{12}, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}, \frac{5 π}{3}

区間を特定する

0 < x < \frac{π}{12}, \frac{π}{12} < x < \frac{π}{3}, \frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}, \frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}, \frac{17 π}{12} < x < \frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{3} < x < 2 π

表で要約する:

- 1 + 2 sin (2 x) 2 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 3 cos (x) \frac{- 1 + 2 s i n ( 2 x )}{2 + c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x ) - 3 c o s ( x )} x = 0 - 0 未定義 0 < x < \frac{π}{12} - - + x = \frac{π}{12} 0 - 0 \frac{π}{12} < x < \frac{π}{3} + - - x = \frac{π}{3} + 0 未定義 \frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{12} + + + x = \frac{5 π}{12} 0 + 0 \frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12} - + - x = \frac{13 π}{12} 0 + 0 \frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12} + + + x = \frac{17 π}{12} 0 + 0 \frac{17 π}{12} < x < \frac{5 π}{3} - + - x = \frac{5 π}{3} - 0 未定義 \frac{5 π}{3} < x < 2 π - - + x = 2 π - 0 未定義

必要条件を満たす区間を特定する:

\geq 0

0 < x < \frac{π}{12} or x = \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{12} or x = \frac{5 π}{12} or x = \frac{13 π}{12} or \frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12} or x = \frac{17 π}{12} or \frac{5 π}{3} < x < 2 π

重複している区間をマージする

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12} or \frac{13 π}{12} \leq x \leq \frac{17 π}{12} or \frac{5 π}{3} < x < 2 π

2つの区間の和集合は, 区間

0 < x < \frac{π}{12}

または

のいずれかの数の集合である

x = \frac{π}{12}

0 < x \leq \frac{π}{12}

2つの区間の和集合は, 区間

0 < x \leq \frac{π}{12}

または

のいずれかの数の集合である

\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{12}

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{12}

2つの区間の和集合は, 区間

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{12}

または

のいずれかの数の集合である

x = \frac{5 π}{12}

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12}

2つの区間の和集合は, 区間

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12}

または

のいずれかの数の集合である

x = \frac{13 π}{12}

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12} or x = \frac{13 π}{12}

2つの区間の和集合は, 区間

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12} or x = \frac{13 π}{12}

または

のいずれかの数の集合である

\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12} or \frac{13 π}{12} \leq x < \frac{17 π}{12}

2つの区間の和集合は, 区間

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12} or \frac{13 π}{12} \leq x < \frac{17 π}{12}

または

のいずれかの数の集合である

x = \frac{17 π}{12}

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12} or \frac{13 π}{12} \leq x \leq \frac{17 π}{12}

2つの区間の和集合は, 区間

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12} or \frac{13 π}{12} \leq x \leq \frac{17 π}{12}

または

のいずれかの数の集合である

\frac{5 π}{3} < x < 2 π

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12} or \frac{13 π}{12} \leq x \leq \frac{17 π}{12} or \frac{5 π}{3} < x < 2 π

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12} or \frac{13 π}{12} \leq x \leq \frac{17 π}{12} or \frac{5 π}{3} < x < 2 π

以下の周期性を適用する:

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )}

2 πn < x \leq \frac{π}{12} + 2 πn or \frac{π}{3} + 2 πn < x \leq \frac{5 π}{12} + 2 πn or \frac{13 π}{12} + 2 πn \leq x \leq \frac{17 π}{12} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

人気の例

tan (x) > 0.5

sin (θ) \geq \frac{1}{2}

sin (\frac{x}{2}) \geq 0

sin (π x) < 0

cos(2x)+cos(x)<0

cos (2 x) + cos (x) < 0