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人気のある三角関数 >

sin(x)+cos(2x)>1

解

sin (x) + cos (2 x) > 1

解

2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < π + 2 πn

+2

区間表記

(2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{6} + 2 πn, π + 2 πn)

十進法表記

2 πn < x < 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn

解答ステップ

sin (x) + cos (2 x) > 1

次の恒等を使用する:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x) > 1

仮定:

u = sin (x)

1 - 2 u^{2} + u > 1

1 - 2 u^{2} + u > 1 : 0 < u < \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} + u > 1

標準的な形式で書き換える

1 - 2 u^{2} + u > 1

両辺から

1

を引く

1 - 2 u^{2} + u - 1 > 1 - 1

簡素化

- 2 u^{2} + u > 0

- 2 u^{2} + u > 0

因数

- 2 u^{2} + u : - u (2 u - 1)

- 2 u^{2} + u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - 2 uu + u

共通項をくくり出す

- u

= - u (2 u - 1)

- u (2 u - 1) > 0

両辺を

- 1

で乗じる (不等式を逆にする)

(- u (2 u - 1)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

簡素化

u (2 u - 1) < 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

u (2 u - 1)

以下の符号を求める:

u

u = 0

u < 0

u > 0

以下の符号を求める:

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

2 u = 1

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

簡素化

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 < 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

2 u < 1

2 u < 1

以下で両辺を割る

2

2 u < 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

簡素化

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 > 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

2 u > 1

2 u > 1

以下で両辺を割る

2

2 u > 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

簡素化

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

表で要約する:

u 2 u - 1 u (2 u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

< 0

0 < u < \frac{1}{2}

0 < u < \frac{1}{2}

0 < u < \frac{1}{2}

代用を戻す

u = sin (x)

0 < sin (x) < \frac{1}{2}

a < u < b

の場合は

a < u and u < b

0 < sin (x) and sin (x) < \frac{1}{2}

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

辺を交換する

sin (x) > 0

sin (x) > a

では,

- 1 \leq a < 1

の場合は

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

簡素化

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

簡素化

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

簡素化

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2}

sin (x) < a

では,

- 1 < a \leq 1

の場合は

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

簡素化

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

簡素化

- π - \frac{π}{6}

元を分数に変換する:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

類似した元を足す:

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

簡素化

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

区間を組み合わせる

2 πn < x < π + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

重複している区間をマージする

2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < π + 2 πn

人気の例

cos (x) \geq 4

arctan(θ)<= (11pi)/9

arctan (θ) \leq \frac{11 π}{9}

2sin^2(x)-5sin(x)-3>= 0,xe[0,2pi]

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0, x e [0, 2 π]

4tan(x)>4,-pi/2 <θ< pi/2

4 tan (x) > 4, - \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}

tan(θ)>3cot(θ)

tan (θ) > 3 cot (θ)