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Beliebt Trigonometrie >

9^{1+sin^2(pix)}+30*9^{cos^2(pix)}<= 117

Lösung

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{c o s^{2} (π x)} \leq 117

Lösung

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Schritte zur Lösung

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{c o s^{2} (π x)} \leq 117

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} \leq 117

Vereinfache

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} : 9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} = 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

Faktorisiere die ganze Zahl

30 = 3 \cdot 10

= 3 \cdot 10 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

Faktorisiere die ganze Zahl

9 = 3^{2}

= 3 \cdot 10 (3^{2})^{1 - s i n^{2} (π x)}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(3^{2})^{1 - s i n^{2} (π x)} = 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))}

= 3 \cdot 10 \cdot 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

3 \cdot 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))} = 3^{1 + 2 (- s i n^{2} (π x) + 1)}

= 10 \cdot 3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))}

3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))} = 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))}

Multipliziere aus

1 + 2 (1 - sin^{2} (π x)) : - 2 sin^{2} (π x) + 3

1 + 2 (1 - sin^{2} (π x))

Multipliziere aus

2 (1 - sin^{2} (π x)) : 2 - 2 sin^{2} (π x)

2 (1 - sin^{2} (π x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (π x)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (π x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (π x)

= 1 + 2 - 2 sin^{2} (π x)

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= - 2 sin^{2} (π x) + 3

= 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

= 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

= 9^{s i n^{2} (π x) + 1} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

Wende Exponentenregel an

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} = 9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

Wende Exponentenregel an:

a^{b - c} = \frac{a ^{b}}{a ^{c}}

3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} = \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}} \leq 117

Wenn

f (x) > 0

können wir beide Seiten der Ungleichung mit

f (x)

multiplizieren oder dividieren

3^{2 s i n^{2} (π x)}

ist größer als

0

für alle

x

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} \leq 117 \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)}

Vereinfache

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} + 270 \leq 117 \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

Schreibe

9^{s i n^{2} (π x)}

um:

3^{2 s i n^{2} (π x)}

9^{s i n^{2} (π x)}

9 = 3^{2}

= (3^{2})^{s i n^{2} (π x)}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(3^{2})^{s i n^{2} (π x)} = 3^{2 s i n^{2} (π x)}

= 3^{2 s i n^{2} (π x)}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

Angenommen

v = 3^{s i n^{2} (π x)}

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2} : - 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

Rewrite in standard form

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

Vereinfache

9 v^{2} v^{2} + 270 : 9 v^{4} + 270

9 v^{2} v^{2} + 270

9 v^{2} v^{2} = 9 v^{4}

9 v^{2} v^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

v^{2} v^{2} = v^{2 + 2}

= 9 v^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= 9 v^{4}

= 9 v^{4} + 270

9 v^{4} + 270 \leq 117 v^{2}

Subtrahiere

117 v^{2}

von beiden Seiten

9 v^{4} + 270 - 117 v^{2} \leq 117 v^{2} - 117 v^{2}

Vereinfache

9 v^{4} + 270 - 117 v^{2} \leq 0

Teile beide Seiten durch

9

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9}

Fasse

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9}

zusammen:

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9}

Vereinfache

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} : v^{4} - 13 v^{2} + 30

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9}

Teile die Zahlen:

\frac{9}{9} = 1

= v^{4} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9}

Teile die Zahlen:

\frac{270}{9} = 30

= v^{4} + 30 - \frac{117 v ^{2}}{9}

Teile die Zahlen:

\frac{117}{9} = 13

= v^{4} + 30 - 13 v^{2}

Rewrite in standard form

= v^{4} - 13 v^{2} + 30

\frac{0}{9} = 0

\frac{0}{9}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

Faktorisiere

v^{4} - 13 v^{2} + 30 : (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

v^{4} - 13 v^{2} + 30

Angenommen

u = v^{2}

= u^{2} - 13 u + 30

Faktorisiere

u^{2} - 13 u + 30 : (u - 3) (u - 10)

u^{2} - 13 u + 30

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

u^{2} - 13 u + 30

Definition

Faktoren von

30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

30

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

30 : 2, 3, 5

30

30

ist durch

230 = 15 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 15

15

ist durch

315 = 5 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3 \cdot 5

Multipliziere die Primfaktoren von

30 : 6, 10, 15

2 \cdot 3 = 6

2 \cdot 5 = 10

6, 10, 15

6, 10, 15

Addiere alle Primfaktoren.

2, 3, 5

Addiere 1 und die Zahl

30

selbst

1, 30

Die Faktoren von

30

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Negative Faktoren von

30 : - 1, - 2, - 3, - 5, - 6, - 10, - 15, - 30

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 3, - 5, - 6, - 10, - 15, - 30

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 30,

prüfe, ob

u + v = - 13

Prüfe

u = 1, v = 30 : u * v = 30, u + v = 31 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = 15 : u * v = 30, u + v = 17 \Rightarrow

Falsch

u = - 3, v = - 10

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - 3 u) + (- 10 u + 30)

= (u^{2} - 3 u) + (- 10 u + 30)

Klammere

u

aus

u^{2} - 3 u

aus

: u (u - 3)

u^{2} - 3 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - 3 u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u - 3)

Klammere

- 10

aus

- 10 u + 30

aus

: - 10 (u - 3)

- 10 u + 30

Schreibe

30

um:

10 \cdot 3

= - 10 u + 10 \cdot 3

Klammere gleiche Terme aus

- 10

= - 10 (u - 3)

= u (u - 3) - 10 (u - 3)

Klammere gleiche Terme aus

u - 3

= (u - 3) (u - 10)

= (u - 3) (u - 10)

Setze in

u = v^{2}

ein

= (v^{2} - 3) (v^{2} - 10)

Faktorisiere

v^{2} - 3 : (v + 3) (v - 3)

v^{2} - 3

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= v^{2} - (3)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - (3)^{2} = (v + 3) (v - 3)

= (v + 3) (v - 3)

= (v + 3) (v - 3) (v^{2} - 10)

Faktorisiere

v^{2} - 10 : (v + 10) (v - 10)

v^{2} - 10

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

10 = (10)^{2}

= v^{2} - (10)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - (10)^{2} = (v + 10) (v - 10)

= (v + 10) (v - 10)

= (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

(v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10) \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

Finde die Vorzeichen von

v + 3

v + 3 = 0 : v = - 3

v + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

v + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

v + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

v = - 3

v = - 3

v + 3 < 0 : v < - 3

v + 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

v + 3 < 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

v + 3 - 3 < 0 - 3

Vereinfache

v < - 3

v < - 3

v + 3 > 0 : v > - 3

v + 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

v + 3 > 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

v + 3 - 3 > 0 - 3

Vereinfache

v > - 3

v > - 3

Finde die Vorzeichen von

v - 3

v - 3 = 0 : v = 3

v - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

v - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

v - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

v = 3

v = 3

v - 3 < 0 : v < 3

v - 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

v - 3 < 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

v - 3 + 3 < 0 + 3

Vereinfache

v < 3

v < 3

v - 3 > 0 : v > 3

v - 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

v - 3 > 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

v - 3 + 3 > 0 + 3

Vereinfache

v > 3

v > 3

Finde die Vorzeichen von

v + 10

v + 10 = 0 : v = - 10

v + 10 = 0

Verschiebe

10

auf die rechte Seite

v + 10 = 0

Subtrahiere

10

von beiden Seiten

v + 10 - 10 = 0 - 10

Vereinfache

v = - 10

v = - 10

v + 10 < 0 : v < - 10

v + 10 < 0

Verschiebe

10

auf die rechte Seite

v + 10 < 0

Subtrahiere

10

von beiden Seiten

v + 10 - 10 < 0 - 10

Vereinfache

v < - 10

v < - 10

v + 10 > 0 : v > - 10

v + 10 > 0

Verschiebe

10

auf die rechte Seite

v + 10 > 0

Subtrahiere

10

von beiden Seiten

v + 10 - 10 > 0 - 10

Vereinfache

v > - 10

v > - 10

Finde die Vorzeichen von

v - 10

v - 10 = 0 : v = 10

v - 10 = 0

Verschiebe

10

auf die rechte Seite

v - 10 = 0

Füge

10

zu beiden Seiten hinzu

v - 10 + 10 = 0 + 10

Vereinfache

v = 10

v = 10

v - 10 < 0 : v < 10

v - 10 < 0

Verschiebe

10

auf die rechte Seite

v - 10 < 0

Füge

10

zu beiden Seiten hinzu

v - 10 + 10 < 0 + 10

Vereinfache

v < 10

v < 10

v - 10 > 0 : v > 10

v - 10 > 0

Verschiebe

10

auf die rechte Seite

v - 10 > 0

Füge

10

zu beiden Seiten hinzu

v - 10 + 10 > 0 + 10

Vereinfache

v > 10

v > 10

Fasse in einer Tabelle zusammen:

v + 3 v - 3 v + 10 v - 10 (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10) v < - 10 - - - - + v = - 10 - - 0 - 0 - 10 < v < - 3 - - + - - v = - 3 0 - + - 0 - 3 < v < 3 + - + - + v = 3 + 0 + - 0 3 < v < 10 + + + - - v = 10 + + + 00 v > 10 + + + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

v = - 10 or - 10 < v < - 3 or v = - 3 or v = 3 or 3 < v < 10 or v = 10

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10 or v = 10

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

v = - 10

oder

- 10 < v < - 3

- 10 \leq v < - 3

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- 10 \leq v < - 3

oder

v = - 3

- 10 \leq v \leq - 3

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- 10 \leq v \leq - 3

oder

v = 3

- 10 \leq v \leq - 3 or v = 3

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- 10 \leq v \leq - 3 or v = 3

oder

3 < v < 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10

oder

v = 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

Setze in

v = 3^{s i n^{2} (π x)}

ein

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 or 3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 :

Falsch für alle

x \in R

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} and 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} :

Wahr für alle

x \in R

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

Tausche die Seiten

3^{s i n^{2} (π x)} \geq - 10

Wende Exponentenregel an

3^{s i n^{2} (π x)} \geq - 10

Wenn

a > 0 i s t, i s t a^{f (x)}

größer als 0

a = 3

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 :

Falsch für alle

x \in R

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

Wende Exponentenregel an

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

Wenn

a > 0 i s t, i s t a^{f (x)}

größer als 0

a = 3

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R and Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R and Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

Wahr für alle

x \in R

und

Falsch für alle

x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10 :

Falsch für alle

x \in R

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} and 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

Wende Exponentenregel an

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

Wenn

a > 1 i s t,

dann ist

a^{f (x)} \leq a^{g (x)}

äquivalent zu

f (x) \leq g (x)

a = 3, f (x) = \frac{1}{2}, g (x) = sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x) : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

Tausche die Seiten

sin^{2} (π x) \geq \frac{1}{2}

Für

u^{n} \geq a

, wenn

n

ist gerade dann

u \leq - n a or u \geq n a

sin (π x) \leq - \frac{1}{2} or sin (π x) \geq \frac{1}{2}

sin (π x) \leq - \frac{1}{2} : - π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \leq - \frac{1}{2}

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \geq \frac{1}{2} : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \geq \frac{1}{2}

Für

sin (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn or arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10 :

Wahr für alle

x \in R

3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

Wenn

f (x) \leq g (x)

dann

ln (f (x)) \leq ln (g (x))

ln (3^{s i n^{2} (π x)}) \leq ln (10)

Vereinfache

ln (3^{s i n^{2} (π x)}) : ln (3) sin^{2} (π x)

ln (3^{s i n^{2} (π x)})

Wende log Regel an

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x),

angenommen

x \geq 0

= ln (3) sin^{2} (π x)

Vereinfache

ln (10) : \frac{1}{2} ln (10)

ln (10)

Schreibe um

= ln (1 0^{\frac{1}{2}})

Wende log Regel an

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x),

angenommen

x \geq 0

= \frac{1}{2} ln (10)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10) :

Wahr für alle

x

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

Teile beide Seiten durch

ln (3)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

Teile beide Seiten durch

ln (3)

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} \leq \frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

Vereinfache

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} \leq \frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

Vereinfache

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} : sin^{2} (π x)

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

ln (3)

= sin^{2} (π x)

Vereinfache

\frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )} : \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

\frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

Multipliziere

\frac{1}{2} ln (10) : \frac{ln ( 10 )}{2}

\frac{1}{2} ln (10)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ln ( 10 )}{2}

Multipliziere:

1 \cdot ln (10) = ln (10)

= \frac{ln ( 10 )}{2}

= \frac{\frac{l n ( 10 )}{2}}{ln ( 3 )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

Für

u^{n} \leq a

, wenn

n

ist gerade dann

- n a \leq u \leq n a

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) and sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) :

Wahr für alle

x \in R

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x)

Tausche die Seiten

sin (π x) \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

Bereich von

sin (π x) : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

sin (π x) \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq sin (π x) \leq 1 : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Angenommen

y = sin (π x)

Kombiniere die Bereiche

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} :

Wahr für alle

x \in R

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

Bereich von

sin (π x) : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq sin (π x) \leq 1 : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Angenommen

y = sin (π x)

Kombiniere die Bereiche

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

Wahr für alle

x \in R

und

Wahr für alle

x \in R

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Kombiniere die Bereiche

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

Falsch für alle

x \in R

und

Wahr für alle

x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

Falsch für alle

x \in R

oder

Falsch für alle

x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Beliebte Beispiele

sin(x)+cos(2x)>1

sin (x) + cos (2 x) > 1

cos(x)>= 4

cos (x) \geq 4

arctan(θ)<= (11pi)/9

arctan (θ) \leq \frac{11 π}{9}

2sin^2(x)-5sin(x)-3>= 0,xe[0,2pi]

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0, x e [0, 2 π]

4tan(x)>4,-pi/2 <θ< pi/2

4 tan (x) > 4, - \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}