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Populaire Trigonométrie >

9^{1+sin^2(pix)}+30*9^{cos^2(pix)}<= 117

Solution

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{c o s^{2} (π x)} \leq 117

Solution

Faux pour toute x \in R

étapes des solutions

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{c o s^{2} (π x)} \leq 117

Utiliser les identités suivantes:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Par conséquent

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} \leq 117

Simplifier

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} : 9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)} = 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

30 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

Facteur entier

30 = 3 \cdot 10

= 3 \cdot 10 \cdot 9^{1 - s i n^{2} (π x)}

Facteur entier

9 = 3^{2}

= 3 \cdot 10 (3^{2})^{1 - s i n^{2} (π x)}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(3^{2})^{1 - s i n^{2} (π x)} = 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))}

= 3 \cdot 10 \cdot 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

3 \cdot 3^{2 (1 - s i n^{2} (π x))} = 3^{1 + 2 (- s i n^{2} (π x) + 1)}

= 10 \cdot 3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))}

3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))} = 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

3^{1 + 2 (1 - s i n^{2} (π x))}

Développer

1 + 2 (1 - sin^{2} (π x)) : - 2 sin^{2} (π x) + 3

1 + 2 (1 - sin^{2} (π x))

Développer

2 (1 - sin^{2} (π x)) : 2 - 2 sin^{2} (π x)

2 (1 - sin^{2} (π x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (π x)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (π x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (π x)

= 1 + 2 - 2 sin^{2} (π x)

Additionner les nombres :

1 + 2 = 3

= - 2 sin^{2} (π x) + 3

= 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

= 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

= 9^{s i n^{2} (π x) + 1} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

Appliquer les règles des exposants

9^{1 + s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

9^{1 + s i n^{2} (π x)} = 9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot 3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} \leq 117

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b - c} = \frac{a ^{b}}{a ^{c}}

3^{- 2 s i n^{2} (π x) + 3} = \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}} \leq 117

f (x) > 0

on peut multiplier ou diviser les deux côtés de l'inégalité par

f (x)

3^{2 s i n^{2} (π x)}

est supérieure à

0

pour toutes les

x

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} + 10 \cdot \frac{3 ^{3}}{3 ^{2 s i n^{2} (π x)}} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} \leq 117 \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)}

Simplifier

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)} + 270 \leq 117 \cdot 3^{2 s i n^{2} (π x)}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 \cdot 9^{s i n^{2} (π x)} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

Récrire

9^{s i n^{2} (π x)}

comme

3^{2 s i n^{2} (π x)}

9^{s i n^{2} (π x)}

9 = 3^{2}

= (3^{2})^{s i n^{2} (π x)}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(3^{2})^{s i n^{2} (π x)} = 3^{2 s i n^{2} (π x)}

= 3^{2 s i n^{2} (π x)}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

3^{2 s i n^{2} (π x)} = (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

9 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} (3^{s i n^{2} (π x)})^{2} + 270 \leq 117 (3^{s i n^{2} (π x)})^{2}

Soit

v = 3^{s i n^{2} (π x)}

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2} : - 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

Récrire sous la forme standard

9 v^{2} v^{2} + 270 \leq 117 v^{2}

Simplifier

9 v^{2} v^{2} + 270 : 9 v^{4} + 270

9 v^{2} v^{2} + 270

9 v^{2} v^{2} = 9 v^{4}

9 v^{2} v^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

v^{2} v^{2} = v^{2 + 2}

= 9 v^{2 + 2}

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= 9 v^{4}

= 9 v^{4} + 270

9 v^{4} + 270 \leq 117 v^{2}

Soustraire

117 v^{2}

des deux côtés

9 v^{4} + 270 - 117 v^{2} \leq 117 v^{2} - 117 v^{2}

Simplifier

9 v^{4} + 270 - 117 v^{2} \leq 0

Diviser les deux côtés par

9

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9}

Redéfinir

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9} : v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} \leq \frac{0}{9}

Simplifier

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9} : v^{4} - 13 v^{2} + 30

\frac{9 v ^{4}}{9} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9}

Diviser les nombres :

\frac{9}{9} = 1

= v^{4} + \frac{270}{9} - \frac{117 v ^{2}}{9}

Diviser les nombres :

\frac{270}{9} = 30

= v^{4} + 30 - \frac{117 v ^{2}}{9}

Diviser les nombres :

\frac{117}{9} = 13

= v^{4} + 30 - 13 v^{2}

Récrire sous la forme standard

= v^{4} - 13 v^{2} + 30

\frac{0}{9} = 0

\frac{0}{9}

Appliquer la règle

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

v^{4} - 13 v^{2} + 30 \leq 0

Factoriser

v^{4} - 13 v^{2} + 30 : (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

v^{4} - 13 v^{2} + 30

Soit

u = v^{2}

= u^{2} - 13 u + 30

Factoriser

u^{2} - 13 u + 30 : (u - 3) (u - 10)

u^{2} - 13 u + 30

Décomposer l'expression en groupes

u^{2} - 13 u + 30

Définition

Facteurs de

30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

30

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

30 : 2, 3, 5

30

30

divisée par

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 15

15

divisée par

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 3 \cdot 5

Multiplier les facteurs premiers de

30 : 6, 10, 15

2 \cdot 3 = 6

2 \cdot 5 = 10

6, 10, 15

6, 10, 15

Ajouter les facteurs premiers :

2, 3, 5

Ajouter 1 et le nombre

30

lui-même

1, 30

Les facteurs de

30

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Facteurs négatifs de

30 : - 1, - 2, - 3, - 5, - 6, - 10, - 15, - 30

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2, - 3, - 5, - 6, - 10, - 15, - 30

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = 30,

vérifier si

u + v = - 13

Vérifier

u = 1, v = 30 : u * v = 30, u + v = 31 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = 15 : u * v = 30, u + v = 17 \Rightarrow

Faux

u = - 3, v = - 10

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - 3 u) + (- 10 u + 30)

= (u^{2} - 3 u) + (- 10 u + 30)

Factoriser

u

depuis

u^{2} - 3 u : u (u - 3)

u^{2} - 3 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - 3 u

Factoriser le terme commun

u

= u (u - 3)

Factoriser

- 10

depuis

- 10 u + 30 : - 10 (u - 3)

- 10 u + 30

Récrire

30

comme

10 \cdot 3

= - 10 u + 10 \cdot 3

Factoriser le terme commun

- 10

= - 10 (u - 3)

= u (u - 3) - 10 (u - 3)

Factoriser le terme commun

u - 3

= (u - 3) (u - 10)

= (u - 3) (u - 10)

Remplacer

u = v^{2}

= (v^{2} - 3) (v^{2} - 10)

Factoriser

v^{2} - 3 : (v + 3) (v - 3)

v^{2} - 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= v^{2} - (3)^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - (3)^{2} = (v + 3) (v - 3)

= (v + 3) (v - 3)

= (v + 3) (v - 3) (v^{2} - 10)

Factoriser

v^{2} - 10 : (v + 10) (v - 10)

v^{2} - 10

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

10 = (10)^{2}

= v^{2} - (10)^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - (10)^{2} = (v + 10) (v - 10)

= (v + 10) (v - 10)

= (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

(v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10) \leq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10)

Trouver les signes de

v + 3

v + 3 = 0 : v = - 3

v + 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

v + 3 = 0

Soustraire

3

des deux côtés

v + 3 - 3 = 0 - 3

Simplifier

v = - 3

v = - 3

v + 3 < 0 : v < - 3

v + 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

v + 3 < 0

Soustraire

3

des deux côtés

v + 3 - 3 < 0 - 3

Simplifier

v < - 3

v < - 3

v + 3 > 0 : v > - 3

v + 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

v + 3 > 0

Soustraire

3

des deux côtés

v + 3 - 3 > 0 - 3

Simplifier

v > - 3

v > - 3

Trouver les signes de

v - 3

v - 3 = 0 : v = 3

v - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

v - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

v - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

v = 3

v = 3

v - 3 < 0 : v < 3

v - 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

v - 3 < 0

Ajouter

3

aux deux côtés

v - 3 + 3 < 0 + 3

Simplifier

v < 3

v < 3

v - 3 > 0 : v > 3

v - 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

v - 3 > 0

Ajouter

3

aux deux côtés

v - 3 + 3 > 0 + 3

Simplifier

v > 3

v > 3

Trouver les signes de

v + 10

v + 10 = 0 : v = - 10

v + 10 = 0

Déplacer

10

vers la droite

v + 10 = 0

Soustraire

10

des deux côtés

v + 10 - 10 = 0 - 10

Simplifier

v = - 10

v = - 10

v + 10 < 0 : v < - 10

v + 10 < 0

Déplacer

10

vers la droite

v + 10 < 0

Soustraire

10

des deux côtés

v + 10 - 10 < 0 - 10

Simplifier

v < - 10

v < - 10

v + 10 > 0 : v > - 10

v + 10 > 0

Déplacer

10

vers la droite

v + 10 > 0

Soustraire

10

des deux côtés

v + 10 - 10 > 0 - 10

Simplifier

v > - 10

v > - 10

Trouver les signes de

v - 10

v - 10 = 0 : v = 10

v - 10 = 0

Déplacer

10

vers la droite

v - 10 = 0

Ajouter

10

aux deux côtés

v - 10 + 10 = 0 + 10

Simplifier

v = 10

v = 10

v - 10 < 0 : v < 10

v - 10 < 0

Déplacer

10

vers la droite

v - 10 < 0

Ajouter

10

aux deux côtés

v - 10 + 10 < 0 + 10

Simplifier

v < 10

v < 10

v - 10 > 0 : v > 10

v - 10 > 0

Déplacer

10

vers la droite

v - 10 > 0

Ajouter

10

aux deux côtés

v - 10 + 10 > 0 + 10

Simplifier

v > 10

v > 10

Récapituler dans un tableau:

v + 3 v - 3 v + 10 v - 10 (v + 3) (v - 3) (v + 10) (v - 10) v < - 10 - - - - + v = - 10 - - 0 - 0 - 10 < v < - 3 - - + - - v = - 3 0 - + - 0 - 3 < v < 3 + - + - + v = 3 + 0 + - 0 3 < v < 10 + + + - - v = 10 + + + 00 v > 10 + + + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

v = - 10 or - 10 < v < - 3 or v = - 3 or v = 3 or 3 < v < 10 or v = 10

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10 or v = 10

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

v = - 10

- 10 < v < - 3

- 10 \leq v < - 3

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- 10 \leq v < - 3

v = - 3

- 10 \leq v \leq - 3

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- 10 \leq v \leq - 3

v = 3

- 10 \leq v \leq - 3 or v = 3

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- 10 \leq v \leq - 3 or v = 3

3 < v < 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v < 10

v = 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

- 10 \leq v \leq - 3 or 3 \leq v \leq 10

Remplacer

v = 3^{s i n^{2} (π x)}

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 or 3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 :

Faux pour toute

x \in R

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} and 3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} :

Vrai pour toute

x \in R

- 10 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

Transposer les termes des côtés

3^{s i n^{2} (π x)} \geq - 10

Appliquer les règles des exposants

3^{s i n^{2} (π x)} \geq - 10

a > 0, a^{f (x)}

est supérieur à 0

a = 3

Vrai pour toute x \in R

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3 :

Faux pour toute

x \in R

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

Appliquer les règles des exposants

3^{s i n^{2} (π x)} \leq - 3

a > 0, a^{f (x)}

est supérieur à 0

a = 3

Faux pour toute x \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

Réunir les intervalles

Vrai pour toute x \in R and Faux pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

Vrai pour toute x \in R and Faux pour toute x \in R

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

Vrai pour toute

x \in R

Faux pour toute

x \in R

Faux pour toute x \in R

Faux pour toute x \in R

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10 :

Faux pour toute

x \in R

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} and 3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)} : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

Appliquer les règles des exposants

3 \leq 3^{s i n^{2} (π x)}

a > 1,

alors

a^{f (x)} \leq a^{g (x)}

est équivalent à

f (x) \leq g (x)

a = 3, f (x) = \frac{1}{2}, g (x) = sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x) : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin^{2} (π x)

Transposer les termes des côtés

sin^{2} (π x) \geq \frac{1}{2}

Pour

u^{n} \geq a

, si

n

est pair alors

u \leq - n a or u \geq n a

sin (π x) \leq - \frac{1}{2} or sin (π x) \geq \frac{1}{2}

sin (π x) \leq - \frac{1}{2} : - π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \leq - \frac{1}{2}

Pour

sin (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \geq \frac{1}{2} : arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

sin (π x) \geq \frac{1}{2}

Pour

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Réunir les intervalles

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn or arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10 :

Vrai pour toute

x \in R

3^{s i n^{2} (π x)} \leq 10

f (x) \leq g (x)

alors

ln (f (x)) \leq ln (g (x))

ln (3^{s i n^{2} (π x)}) \leq ln (10)

Simplifier

ln (3^{s i n^{2} (π x)}) : ln (3) sin^{2} (π x)

ln (3^{s i n^{2} (π x)})

Appliquer la règle de calcul du logarithme

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x),

en supposant

x \geq 0

= ln (3) sin^{2} (π x)

Simplifier

ln (10) : \frac{1}{2} ln (10)

ln (10)

Récrire comme

= ln (1 0^{\frac{1}{2}})

Appliquer la règle de calcul du logarithme

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x),

en supposant

x \geq 0

= \frac{1}{2} ln (10)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10) :

Vrai pour toute

x

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

Diviser les deux côtés par

ln (3)

ln (3) sin^{2} (π x) \leq \frac{1}{2} ln (10)

Diviser les deux côtés par

ln (3)

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} \leq \frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

Simplifier

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} \leq \frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

Simplifier

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )} : sin^{2} (π x)

\frac{ln ( 3 ) sin ^{2} ( π x )}{ln ( 3 )}

Annuler le facteur commun :

ln (3)

= sin^{2} (π x)

Simplifier

\frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )} : \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

\frac{\frac{1}{2} ln ( 10 )}{ln ( 3 )}

Multiplier

\frac{1}{2} ln (10) : \frac{ln ( 10 )}{2}

\frac{1}{2} ln (10)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ln ( 10 )}{2}

Multiplier:

1 \cdot ln (10) = ln (10)

= \frac{ln ( 10 )}{2}

= \frac{\frac{l n ( 10 )}{2}}{ln ( 3 )}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

sin^{2} (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

Pour

u^{n} \leq a

, si

n

est pair alors

- n a \leq u \leq n a

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) and sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x) :

Vrai pour toute

x \in R

- \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} \leq sin (π x)

Transposer les termes des côtés

sin (π x) \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

Plage de

sin (π x) : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

sin (π x) \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq sin (π x) \leq 1 : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Soit

y = sin (π x)

Réunir les intervalles

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \geq - \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} :

Vrai pour toute

x \in R

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

Plage de

sin (π x) : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

sin (π x) \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq sin (π x) \leq 1 : - 1 \leq sin (π x) \leq 1

Soit

y = sin (π x)

Réunir les intervalles

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \leq \frac{ln ( 10 )}{2 ln ( 3 )}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

Réunir les intervalles

Vrai pour toute x \in R and Vrai pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

Vrai pour toute x \in R and Vrai pour toute x \in R

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

Vrai pour toute

x \in R

Vrai pour toute

x \in R

Vrai pour toute x \in R

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x

Réunir les intervalles

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq π x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn and Vrai pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

Faux pour toute x \in R and Vrai pour toute x \in R

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

Faux pour toute

x \in R

Vrai pour toute

x \in R

Faux pour toute x \in R

Faux pour toute x \in R

Réunir les intervalles

Faux pour toute x \in R or Faux pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

Faux pour toute x \in R or Faux pour toute x \in R

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

Faux pour toute

x \in R

Faux pour toute

x \in R

Faux pour toute x \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

Exemples populaires

sin(x)+cos(2x)>1

sin (x) + cos (2 x) > 1

cos(x)>= 4

cos (x) \geq 4

arctan(θ)<= (11pi)/9

arctan (θ) \leq \frac{11 π}{9}

2sin^2(x)-5sin(x)-3>= 0,xe[0,2pi]

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0, x e [0, 2 π]

4tan(x)>4,-pi/2 <θ< pi/2

4 tan (x) > 4, - \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}