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Beliebt Trigonometrie >

sqrt(3)cos(x)-sin(x)>= 1

Lösung

3 cos (x) - sin (x) \geq 1

Lösung

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Intervall-Notation

[- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn]

Dezimale

- 1.57079 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.52359 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

3 cos (x) - sin (x) \geq 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Teile beide Seiten durch

2

\frac{3 cos ( x ) - sin ( x )}{2} \geq \frac{1}{2}

Multipliziere aus

\frac{3 cos ( x ) - sin ( x )}{2} : \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

\frac{3 cos ( x ) - sin ( x )}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{3 cos ( x ) - sin ( x )}{2} = \frac{3 cos ( x )}{2} - \frac{sin ( x )}{2}

= \frac{3 cos ( x )}{2} - \frac{sin ( x )}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x) \geq \frac{1}{2}

\frac{3}{2} = sin (\frac{π}{3})

sin (\frac{π}{3}) cos (x) - \frac{1}{2} sin (x) \geq \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{3})

sin (\frac{π}{3}) cos (x) - cos (\frac{π}{3}) sin (x) \geq \frac{1}{2}

Verwende die folgenden Identitäten:

- cos (s) sin (t) + cos (t) sin (s) = sin (s - t)

sin (\frac{π}{3} - x) \geq \frac{1}{2}

Dividiere

- 1

aus

\frac{π}{3} - x : - (- \frac{π}{3} + x)

sin (- (- \frac{π}{3} + x)) \geq \frac{1}{2}

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (- x) = - sin (x)

- sin (- \frac{π}{3} + x) \geq \frac{1}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- sin (- \frac{π}{3} + x) \geq \frac{1}{2}

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- sin (- \frac{π}{3} + x)) (- 1) \leq \frac{1 \cdot ( - 1 )}{2}

Vereinfache

sin (- \frac{π}{3} + x) \leq - \frac{1}{2}

sin (- \frac{π}{3} + x) \leq - \frac{1}{2}

sin (- \frac{π}{3} + x) \leq - \frac{1}{2}

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq (- \frac{π}{3} + x) \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq - \frac{π}{3} + x and - \frac{π}{3} + x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq - \frac{π}{3} + x : x \geq - \frac{π}{2} + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq - \frac{π}{3} + x

Tausche die Seiten

- \frac{π}{3} + x \geq - π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - π + \frac{π}{6} + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6}) + 2 πn

Wende Regel an

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6} + 2 πn

- \frac{π}{3} + x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{3}

auf die rechte Seite

- \frac{π}{3} + x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

Füge

\frac{π}{3}

zu beiden Seiten hinzu

- \frac{π}{3} + x + \frac{π}{3} \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Vereinfache

- \frac{π}{3} + x + \frac{π}{3} \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Vereinfache

- \frac{π}{3} + x + \frac{π}{3} : x

- \frac{π}{3} + x + \frac{π}{3}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{3} + \frac{π}{3} \geq 0

= x

Vereinfache

- π + \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3} : - π + 2 πn + \frac{π}{2}

- π + \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Fasse gleiche Terme zusammen

= - π + 2 πn + \frac{π}{6} + \frac{π}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

6, 3 : 6

6, 3

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

6

oder

3

vorkommt

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

6

Für

\frac{π}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{3} = \frac{π 2}{3 \cdot 2} = \frac{π 2}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{π 2}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + π 2}{6}

Addiere gleiche Elemente:

π + 2 π = 3 π

= \frac{3 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= - π + 2 πn + \frac{π}{2}

x \geq - π + 2 πn + \frac{π}{2}

x \geq - π + 2 πn + \frac{π}{2}

x \geq - π + 2 πn + \frac{π}{2}

Vereinfache

- π + \frac{π}{2} : - \frac{π}{2}

- π + \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 + π}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- 2 π + π = - π

= \frac{- π}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{π}{2}

x \geq - \frac{π}{2} + 2 πn

- \frac{π}{3} + x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq 2 πn + \frac{π}{6}

- \frac{π}{3} + x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6} + 2 πn

- \frac{π}{3} + x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{3}

auf die rechte Seite

- \frac{π}{3} + x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Füge

\frac{π}{3}

zu beiden Seiten hinzu

- \frac{π}{3} + x + \frac{π}{3} \leq - \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Vereinfache

- \frac{π}{3} + x + \frac{π}{3} \leq - \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Vereinfache

- \frac{π}{3} + x + \frac{π}{3} : x

- \frac{π}{3} + x + \frac{π}{3}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{3} + \frac{π}{3} \leq 0

= x

Vereinfache

- \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3} : 2 πn + \frac{π}{6}

- \frac{π}{6} + 2 πn + \frac{π}{3}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{6} + \frac{π}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

6, 3 : 6

6, 3

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

6

oder

3

vorkommt

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

6

Für

\frac{π}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{3} = \frac{π 2}{3 \cdot 2} = \frac{π 2}{6}

= - \frac{π}{6} + \frac{π 2}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + π 2}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- π + 2 π = π

= 2 πn + \frac{π}{6}

x \leq 2 πn + \frac{π}{6}

x \leq 2 πn + \frac{π}{6}

x \leq 2 πn + \frac{π}{6}

Kombiniere die Bereiche

x \geq - \frac{π}{2} + 2 πn and x \leq 2 πn + \frac{π}{6}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos^2(x)-5cos(x)*2.25>= 0

cos^{2} (x) - 5 cos (x) \cdot 2.25 \geq 0

-pi/(12)sin^2(pi/(12)t)>0

- \frac{π}{12} sin^{2} (\frac{π}{12} t) > 0

0<-pisin(pix)

0 < - π sin (π x)

(cos(x)-1)(cos(x)+1/2)>= 0

(cos (x) - 1) (cos (x) + \frac{1}{2}) \geq 0

tan(x)< pi/2

tan (x) < \frac{π}{2}