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受欢迎的三角函数 >

cos^2(x)-4cos(x)<0

解答

cos^{2} (x) - 4 cos (x) < 0

解答

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

+2

间隔符号

(- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn)

十进制

- 1.57079 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn

求解步骤

cos^{2} (x) - 4 cos (x) < 0

令

: u = cos (x)

u^{2} - 4 u < 0

u^{2} - 4 u < 0 : 0 < u < 4

u^{2} - 4 u < 0

分解

u^{2} - 4 u : u (u - 4)

u^{2} - 4 u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - 4 u

因式分解出通项

u

= u (u - 4)

u (u - 4) < 0

确定区间

确定

u (u - 4)

符号

确定

u

符号

u = 0

u < 0

u > 0

确定

u - 4

符号

u - 4 = 0 : u = 4

u - 4 = 0

将

4

到右边

u - 4 = 0

两边加上

4

u - 4 + 4 = 0 + 4

化简

u = 4

u = 4

u - 4 < 0 : u < 4

u - 4 < 0

将

4

到右边

u - 4 < 0

两边加上

4

u - 4 + 4 < 0 + 4

化简

u < 4

u < 4

u - 4 > 0 : u > 4

u - 4 > 0

将

4

到右边

u - 4 > 0

两边加上

4

u - 4 + 4 > 0 + 4

化简

u > 4

u > 4

总结如下表：

u u - 4 u (u - 4) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 4 + - - u = 4 + 00 u > 4 + + +

确定满足所需条件的区间：

< 0

0 < u < 4

0 < u < 4

0 < u < 4

u = cos (x)

代回

0 < cos (x) < 4

若

a < u < b

，则

a < u and u < b

0 < cos (x) and cos (x) < 4

0 < cos (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

0 < cos (x)

交换两边

cos (x) > 0

对于

cos (x) > a

，若

- 1 \leq a < 1

，则

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

化简

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

化简

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) < 4 :

对所有

x \in R

为真

cos (x) < 4

cos (x)

的值域:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

函数值域定义

基本

cos

函数的值域为

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < 4 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

令

y = cos (x)

合并区间

y < 4 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y < 4 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y < 4

and

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

合并区间

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn and 对所有 x \in R 为真

合并重叠的区间

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

流行的例子

sec^{2} (x) < 1

sec (A) < 0

solvefor x,sin(x)>0

so l v e f or x, sin (x) > 0

sin(2x)<cos(2x)

sin (2 x) < cos (2 x)

pi/2-arctan(x^4)>0.0001

\frac{π}{2} - arctan (x^{4}) > 0.0001