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Beliebt Trigonometrie >

4sin^2(x)-8sin(x)+3<= 0

Lösung

4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) + 3 \leq 0

Lösung

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Intervall-Notation

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

Dezimale

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) + 3 \leq 0

Angenommen:

u = sin (x)

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0

Faktorisiere

4 u^{2} - 8 u + 3 : (2 u - 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 8 u + 3

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

4 u^{2} - 8 u + 3

Definition

Faktoren von

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

12 : 2, 2, 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Primfaktoren von

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Addiere alle Primfaktoren.

2, 3

Addiere 1 und die Zahl

12

selbst

1, 12

Die Faktoren von

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Negative Faktoren von

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 12,

prüfe, ob

u + v = - 8

Prüfe

u = 1, v = 12 : u * v = 12, u + v = 13 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = 6 : u * v = 12, u + v = 8 \Rightarrow

Falsch

u = - 2, v = - 6

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} - 2 u) + (- 6 u + 3)

= (4 u^{2} - 2 u) + (- 6 u + 3)

Klammere

2 u

aus

4 u^{2} - 2 u

aus

: 2 u (2 u - 1)

4 u^{2} - 2 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu - 2 u

Schreibe

4

um:

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu - 2 u

Klammere gleiche Terme aus

2 u

= 2 u (2 u - 1)

Klammere

- 3

aus

- 6 u + 3

aus

: - 3 (2 u - 1)

- 6 u + 3

Schreibe

6

um:

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u + 3

Klammere gleiche Terme aus

- 3

= - 3 (2 u - 1)

= 2 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u - 1

= (2 u - 1) (2 u - 3)

(2 u - 1) (2 u - 3) \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(2 u - 1) (2 u - 3)

Finde die Vorzeichen von

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

2 u < 1

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

2 u > 1

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

2 u = 3

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Vereinfache

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 < 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Vereinfache

2 u < 3

2 u < 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u < 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Vereinfache

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 > 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Vereinfache

2 u > 3

2 u > 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u > 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Vereinfache

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 u - 1 2 u - 3 (2 u - 1) (2 u - 3) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u = \frac{1}{2}

oder

\frac{1}{2} < u < \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2}

oder

u = \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Für

sin (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Vereinfache

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Vereinfache

π - \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} :

Wahr für alle

x \in R

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \leq \frac{3}{2}

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Beliebte Beispiele

sin^2(x)> 3/4

sin^{2} (x) > \frac{3}{4}

(1-2cos(x))<0

(1 - 2 cos (x)) < 0

(sin(x))^2<= 3/4

(sin (x))^{2} \leq \frac{3}{4}

13<2.5cos(((2pi)/(365))(x+9))+12

13 < 2.5 cos ((\frac{2 π}{365}) (x + 9)) + 12

sin^4(x)-cos^4(x)<= 0

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) \leq 0