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受欢迎的三角函数 >

证明 tan((2pi)/3)=(sqrt(243/4))/(-9/2)

解答

证明

tan (\frac{2 π}{3}) = \frac{\frac{243}{4}}{- \frac{9}{2}}

解答

真

求解步骤

tan (\frac{2 π}{3}) = \frac{\frac{243}{4}}{- \frac{9}{2}}

调整左侧

tan (\frac{2 π}{3})

化简

tan (\frac{2 π}{3}) : - 3

tan (\frac{2 π}{3})

使用三角恒等式改写:

\frac{sin ( \frac{2 π}{3} )}{cos ( \frac{2 π}{3} )}

tan (\frac{2 π}{3})

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( \frac{2 π}{3} )}{cos ( \frac{2 π}{3} )}

= \frac{sin ( \frac{2 π}{3} )}{cos ( \frac{2 π}{3} )}

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}

sin (\frac{2 π}{3})

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{3}{2}

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}

cos (\frac{2 π}{3})

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{1}{2}

= \frac{\frac{3}{2}}{- \frac{1}{2}}

化简

\frac{\frac{3}{2}}{- \frac{1}{2}} : - 3

\frac{\frac{3}{2}}{- \frac{1}{2}}

使用分式法则:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}

分式相除:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1}

整理后得

= - \frac{3 \cdot 2}{2}

约分:

2

= - 3

= - 3

= - 3

调整右侧

\frac{\frac{243}{4}}{- \frac{9}{2}}

化简

\frac{\frac{243}{4}}{- \frac{9}{2}} : - 3

\frac{\frac{243}{4}}{- \frac{9}{2}}

使用分式法则:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{243}{4}}{\frac{9}{2}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

\frac{\frac{243}{4}}{\frac{9}{2}} = \frac{\frac{243}{4} \cdot 2}{9}

= - \frac{\frac{243}{4} \cdot 2}{9}

\frac{243}{4} = \frac{9 3}{2}

\frac{243}{4}

使用根式运算法则:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

假定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{243}{4}

4 = 2

4

因式分解数字:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{243}{2}

243 = 93

243

243

质因数分解:

3^{5}

243

243

除以

3243 = 81 \cdot 3

= 3 \cdot 81

81

除以

381 = 27 \cdot 3

= 3 \cdot 3 \cdot 27

27

除以

327 = 9 \cdot 3

= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9

9

除以

39 = 3 \cdot 3

= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

3

是质数，因此无法进一步因数分解

= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 3^{5}

= 3^{5}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3^{4} \cdot 3

使用根式运算法则:

n ab = n a n b

= 3 3^{4}

使用根式运算法则:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} 3

整理后得

= 93

= \frac{9 3}{2}

= - \frac{2 \cdot \frac{9 3}{2}}{9}

乘

\frac{9 3}{2} \cdot 2 : 93

\frac{9 3}{2} \cdot 2

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{9 3 \cdot 2}{2}

约分:

2

= 93

= - \frac{9 3}{9}

数字相除:

\frac{9}{9} = 1

= - 3

= - 3

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β)

p ro v e sin (α + β) - sin (α - β) = 2 cos (α) sin (β)

证明 (1-cos(2a))/(1+cos(2a))=tan^2(a)

p ro v e \frac{1 - cos ( 2 a )}{1 + cos ( 2 a )} = tan^{2} (a)

证明 sin(a)sin(b)=sin(a+b)

p ro v e sin (a) sin (b) = sin (a + b)

证明 2sin(x)=((4cos(x)-1))/(tan(x))

p ro v e 2 sin (x) = \frac{( 4 cos ( x ) - 1 )}{tan ( x )}

证明 ((1-cos(4x)+sin(4x)))/((1+cos(4x)+sin(4x)))=3sin(2x)

p ro v e \frac{( 1 - cos ( 4 x ) + sin ( 4 x ) )}{( 1 + cos ( 4 x ) + sin ( 4 x ) )} = 3 sin (2 x)