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Beliebt Trigonometrie >

beweisen csc^2(x/2)=(2sec(x))/(sec(x)-1)

Lösung

beweisen

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 sec ( x )}{sec ( x ) - 1}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 sec ( x )}{sec ( x ) - 1}

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

csc^{2} (u) = \frac{2 sec ( 2 u )}{sec ( 2 u ) - 1}

Beweise

csc^{2} (u) = \frac{2 sec ( 2 u )}{sec ( 2 u ) - 1} :

Wahr

csc^{2} (u) = \frac{2 sec ( 2 u )}{sec ( 2 u ) - 1}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2 sec ( 2 u )}{sec ( 2 u ) - 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{2 sec ( 2 u )}{- 1 + sec ( 2 u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Vereinfache

\frac{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}} : \frac{2}{- cos ( 2 u ) + 1}

\frac{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

zusammen:

\frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

= - \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u)

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )} : \frac{2}{cos ( 2 u )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 u )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( 2 u )}

= \frac{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{2 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u ) ( - cos ( 2 u ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (2 u)

= \frac{2}{- cos ( 2 u ) + 1}

= \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

= \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

Vereinfache

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )} : \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2}{2 sin ^{2} ( u )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( u )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( u )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( u )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 sec ( x )}{sec ( x ) - 1}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (sec(x))/(-csc(x))+(-sin(x))/(cos(x))=-2tan(x)

p ro v e \frac{sec ( x )}{- csc ( x )} + \frac{- sin ( x )}{cos ( x )} = - 2 tan (x)

beweisen 1=(sec(u)+tan(u))/(sec(u)+tan(u))

p ro v e 1 = \frac{sec ( u ) + tan ( u )}{sec ( u ) + tan ( u )}

beweisen (sin^2(x))/1*1/(sin^2(x))=1

p ro v e \frac{sin ^{2} ( x )}{1} \cdot \frac{1}{sin ^{2} ( x )} = 1

beweisen 1/2 cot(x)-1/2 tan(x)=cot(2x)

p ro v e \frac{1}{2} cot (x) - \frac{1}{2} tan (x) = cot (2 x)

beweisen cos(x+pi/6)=(sqrt(3))/2 cos(x)-1/2 sin(x)

p ro v e cos (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)