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beweisen cos(x+pi/6)=(sqrt(3))/2 cos(x)-1/2 sin(x)

Lösung

beweisen

cos (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

Manipuliere die linke Seite

cos (x + \frac{π}{6})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x + \frac{π}{6})

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (x) cos (\frac{π}{6}) - sin (x) sin (\frac{π}{6})

Vereinfache

cos (x) cos (\frac{π}{6}) - sin (x) sin (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

cos (x) cos (\frac{π}{6}) - sin (x) sin (\frac{π}{6})

Vereinfache

cos (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) - sin (\frac{π}{6}) sin (x)

Vereinfache

sin (\frac{π}{6}) : \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{1}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{2 cos ^{2} ( x )}{sin ( 2 x )} = \frac{1}{tan ( x )}

p ro v e cos (- 2 θ) = cos (2 θ)

p ro v e 1 - cos^{2} (x) = tan (x)

p ro v e cot (2 x) = (\frac{1}{2}) (cot (x) - tan (x))

p ro v e sec^{2} (x) cot (x) + cot (x) = tan (x)