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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sin(3a))/(sin(a))=2cos(2a)+1

Lösung

beweisen

\frac{sin ( 3 a )}{sin ( a )} = 2 cos (2 a) + 1

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( 3 a )}{sin ( a )} = 2 cos (2 a) + 1

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( 3 a )}{sin ( a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 3 a )}{sin ( a )}

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

sin (3 x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (3 x)

Schreibe um

= sin (2 x + x)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Vereinfache

cos (2 x) sin (x) + cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) : sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Multipliziere aus

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

= sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) + 2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= sin (x) 1 - sin (x) 2 sin^{2} (x)

= 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Vereinfache

1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 sin (x)

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Multipliziere aus

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 sin (x), b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 sin (x) 1 - 2 sin (x) sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Vereinfache

2 \cdot 1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x) = 2 sin (x)

2 \cdot 1 sin (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Vereinfache

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) = - 4 sin^{3} (x)

= - 4 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

sin (x) + 2 sin (x) = 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

= \frac{3 sin ( a ) - 4 sin ^{3} ( a )}{sin ( a )}

Vereinfache

\frac{3 sin ( a ) - 4 sin ^{3} ( a )}{sin ( a )} : 3 - 4 sin^{2} (a)

\frac{3 sin ( a ) - 4 sin ^{3} ( a )}{sin ( a )}

Faktorisiere

3 sin (a) - 4 sin^{3} (a) : sin (a) (3 - 4 sin^{2} (a))

3 sin (a) - 4 sin^{3} (a)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{3} (a) = sin (a) sin^{2} (a)

= 3 sin (a) - 4 sin (a) sin^{2} (a)

Klammere gleiche Terme aus

sin (a)

= sin (a) (3 - 4 sin^{2} (a))

= \frac{sin ( a ) ( 3 - 4 sin ^{2} ( a ) )}{sin ( a )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (a)

= 3 - 4 sin^{2} (a)

= 3 - 4 sin^{2} (a)

= 3 - 4 sin^{2} (a)

Manipuliere die rechte Seite

2 cos (2 a) + 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 cos (2 a) + 1

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 2 (1 - 2 sin^{2} (a)) + 1

Vereinfache

2 (1 - 2 sin^{2} (a)) + 1 : - 4 sin^{2} (a) + 3

2 (1 - 2 sin^{2} (a)) + 1

Multipliziere aus

2 (1 - 2 sin^{2} (a)) : 2 - 4 sin^{2} (a)

2 (1 - 2 sin^{2} (a))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = 2 sin^{2} (a)

= 2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 sin^{2} (a)

Vereinfache

2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 sin^{2} (a) : 2 - 4 sin^{2} (a)

2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 sin^{2} (a)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 \cdot 2 sin^{2} (a)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 2 - 4 sin^{2} (a)

= 2 - 4 sin^{2} (a)

= 2 - 4 sin^{2} (a) + 1

Vereinfache

2 - 4 sin^{2} (a) + 1 : - 4 sin^{2} (a) + 3

2 - 4 sin^{2} (a) + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 sin^{2} (a) + 2 + 1

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= - 4 sin^{2} (a) + 3

= - 4 sin^{2} (a) + 3

= - 4 sin^{2} (a) + 3

= - 4 sin^{2} (a) + 3

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin(2x)+cos(2x)=1+2sin(x)cos(x)

p ro v e sin (2 x) + cos (2 x) = 1 + 2 sin (x) cos (x)

beweisen (cot^2(x)+1)/(cot^2(x)-1)=sec(2x)

p ro v e \frac{cot ^{2} ( x ) + 1}{cot ^{2} ( x ) - 1} = sec (2 x)

beweisen cot(-x)sin(-x)=cos(x)

p ro v e cot (- x) sin (- x) = cos (x)

beweisen sin^2(x)=tan^2(x)+1

p ro v e sin^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

beweisen cos^2(u)= 1/2+1/2 cos(2u)

p ro v e cos^{2} (u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u)