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beweisen tan(θ)sec(θ)csc(θ)=1+tan^2(θ)

Lösung

beweisen

tan (θ) sec (θ) csc (θ) = 1 + tan^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (θ) sec (θ) csc (θ) = 1 + tan^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

tan (θ) sec (θ) csc (θ)

Drücke mit sin, cos aus

csc (θ) sec (θ) tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( θ )} sec (θ) tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1 \cdot sin ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ ) cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= \frac{1 \cdot 1}{cos ( θ ) cos ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{cos ( θ ) cos ( θ )}

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Manipuliere die rechte Seite

1 + tan^{2} (θ)

Drücke mit sin, cos aus

1 + tan^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Vereinfache

1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1 - cos ( x )}{\frac{1}{c o s ( x )} - 1} = cos (x)

p ro v e sin (π - 0) = sin (0)

p ro v e csc^{2} (x) + 1 = cot^{2} (x) + 2

p ro v e \frac{sin ( x )}{cot ^{2} ( x )} = \frac{tan ^{2} ( x )}{csc ( x )}

p ro v e sin (x) \cdot (1 + cot (x)) = sin (x) + cos (x)