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beweisen ((tan^2(t)))/(sec(t))=sec(t)-cos(t)

Lösung

beweisen

\frac{( tan ^{2} ( t ) )}{sec ( t )} = sec (t) - cos (t)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{tan ^{2} ( t )}{sec ( t )} = sec (t) - cos (t)

Manipuliere die linke Seite

\frac{tan ^{2} ( t )}{sec ( t )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{tan ^{2} ( t )}{sec ( t )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{s i n ( t )}{c o s ( t )} ) ^{2}}{sec ( t )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{s i n ( t )}{c o s ( t )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ( t )}}

Vereinfache

\frac{( \frac{s i n ( t )}{c o s ( t )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ( t )}} : \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

\frac{( \frac{s i n ( t )}{c o s ( t )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ( t )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( \frac{s i n ( t )}{c o s ( t )} ) ^{2} cos ( t )}{1}

(\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

(\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( t )}{c o s ^{2} ( t )} cos ( t )}{1}

Multipliziere

\frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} cos (t) : \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

\frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} cos (t)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( t ) cos ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (t)

= \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( t )}{c o s ( t )}}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

= \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

= \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( t )}{cos ( t )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( t )}{cos ( t )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( t )}{cos ( t )}

Manipuliere die rechte Seite

sec (t) - cos (t)

Drücke mit sin, cos aus

- cos (t) + sec (t)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - cos (t) + \frac{1}{cos ( t )}

Vereinfache

- cos (t) + \frac{1}{cos ( t )} : \frac{- cos ^{2} ( t ) + 1}{cos ( t )}

- cos (t) + \frac{1}{cos ( t )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (t) = \frac{cos ( t ) cos ( t )}{cos ( t )}

= - \frac{cos ( t ) cos ( t )}{cos ( t )} + \frac{1}{cos ( t )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( t ) cos ( t ) + 1}{cos ( t )}

- cos (t) cos (t) + 1 = - cos^{2} (t) + 1

- cos (t) cos (t) + 1

cos (t) cos (t) = cos^{2} (t)

cos (t) cos (t)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (t) cos (t) = cos^{1 + 1} (t)

= cos^{1 + 1} (t)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (t)

= - cos^{2} (t) + 1

= \frac{- cos ^{2} ( t ) + 1}{cos ( t )}

= \frac{- cos ^{2} ( t ) + 1}{cos ( t )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( t )}{cos ( t )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e - sin (- 1) = sin (1)

p ro v e sin^{2} (y) cos^{2} (y) = \frac{1 - cos ( 4 x )}{8}

p ro v e \frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )} = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

p ro v e \frac{( cos ( a - b ) )}{sin ( a ) sin ( b )} = cot (a) cot (b) + 1

p ro v e 2 cos (x) (sin (3 x) - sin (x)) = sin (4 x)