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beweisen ((cos(a-b)))/(sin(a)sin(b))=cot(a)cot(b)+1

Lösung

beweisen

\frac{( cos ( a - b ) )}{sin ( a ) sin ( b )} = cot (a) cot (b) + 1

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( a - b )}{sin ( a ) sin ( b )} = cot (a) cot (b) + 1

Manipuliere die linke Seite

\frac{cos ( a - b )}{sin ( a ) sin ( b )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ( a - b )}{sin ( a ) sin ( b )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= \frac{cos ( a ) cos ( b ) + sin ( a ) sin ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

= \frac{cos ( a ) cos ( b ) + sin ( a ) sin ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

Manipuliere die rechte Seite

cot (a) cot (b) + 1

Drücke mit sin, cos aus

1 + cot (a) cot (b)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + \frac{cos ( a )}{sin ( a )} cot (b)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + \frac{cos ( a )}{sin ( a )} \cdot \frac{cos ( b )}{sin ( b )}

Vereinfache

1 + \frac{cos ( a )}{sin ( a )} \cdot \frac{cos ( b )}{sin ( b )} : \frac{sin ( a ) sin ( b ) + cos ( a ) cos ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

1 + \frac{cos ( a )}{sin ( a )} \cdot \frac{cos ( b )}{sin ( b )}

Multipliziere

\frac{cos ( a )}{sin ( a )} \cdot \frac{cos ( b )}{sin ( b )} : \frac{cos ( a ) cos ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

\frac{cos ( a )}{sin ( a )} \cdot \frac{cos ( b )}{sin ( b )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( a ) cos ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

= 1 + \frac{cos ( a ) cos ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( a ) sin ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

= \frac{1 \cdot sin ( a ) sin ( b )}{sin ( a ) sin ( b )} + \frac{cos ( a ) cos ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( a ) sin ( b ) + cos ( a ) cos ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (a) = sin (a)

= \frac{sin ( a ) sin ( b ) + cos ( a ) cos ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

= \frac{sin ( a ) sin ( b ) + cos ( a ) cos ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

= \frac{cos ( a ) cos ( b ) + sin ( a ) sin ( b )}{sin ( a ) sin ( b )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 cos (x) (sin (3 x) - sin (x)) = sin (4 x)

p ro v e \frac{1 - sin ( θ )}{sec ( θ )} = \frac{cos ^{3} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

p ro v e 5 sin^{2} (x) + 5 cos^{2} (x) = 5

p ro v e cot (θ) = \frac{( 1 + cos ( 2 θ ) )}{sin ( 2 θ )}

p ro v e 1 + \frac{tan ^{2} ( A )}{1 + sec ( A )} = sec (A)