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Popular Trigonometria >

provar tan(2θ)-tan(θ)=tan(θ)sec(2θ)

Solução

provar

tan (2 θ) - tan (θ) = tan (θ) sec (2 θ)

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

tan (2 θ) - tan (θ) = tan (θ) sec (2 θ)

Manipular o lado direito

tan (2 θ) - tan (θ)

Expresar com seno, cosseno

tan (2 θ) - tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} - tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Simplificar

\frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{sin ( 2 θ ) cos ( θ ) - sin ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

\frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Mínimo múltiplo comum de

cos (2 θ), cos (θ) : cos (2 θ) cos (θ)

cos (2 θ), cos (θ)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

cos (2 θ)

quanto em

cos (θ)

= cos (2 θ) cos (θ)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (θ)

\frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} = \frac{sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

Para

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (2 θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( θ ) cos ( 2 θ )}

= \frac{sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )} - \frac{sin ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( θ ) cos ( 2 θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 θ ) cos ( θ ) - sin ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

= \frac{sin ( 2 θ ) cos ( θ ) - sin ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

= \frac{- cos ( 2 θ ) sin ( θ ) + cos ( θ ) sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

Reescrever como

= sin (2 θ) cos (θ) - cos (2 θ) sin (θ)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

sin (2 θ) cos (θ) - cos (2 θ) sin (θ)

Use a identidade de diferença de ângulos:

sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t) = sin (s - t)

= \frac{sin ( 2 θ - θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

Somar elementos similares:

2 θ - θ = θ

= \frac{sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

Manipular o lado esquerdo

tan (θ) sec (2 θ)

Expresar com seno, cosseno

sec (2 θ) tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( 2 θ )} tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( 2 θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Simplificar

\frac{1}{cos ( 2 θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

\frac{1}{cos ( 2 θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= \frac{sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) cos ( θ )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar tan(2A)-tan(A)=tan(A)sec(2A)

p ro v e tan (2 A) - tan (A) = tan (A) sec (2 A)

provar-2sin(x-y)sin(x+y)=cos(2x)-cos(2y)

p ro v e - 2 sin (x - y) sin (x + y) = cos (2 x) - cos (2 y)

provar (1-sin(x))+(1+sin(x))=2cos(x)

p ro v e (1 - sin (x)) + (1 + sin (x)) = 2 cos (x)

provar 1/(1-sin(β))+1/(1+sin(β))=2sec^2(β)

p ro v e \frac{1}{1 - sin ( β )} + \frac{1}{1 + sin ( β )} = 2 sec^{2} (β)

provar cot^2(A)-cos^2(A)=cot^2(A)cos^2(A)

p ro v e cot^{2} (A) - cos^{2} (A) = cot^{2} (A) cos^{2} (A)