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Popolare Trigonometria >

dimostrare tan(2A)-tan(A)=tan(A)sec(2A)

Soluzione

dimostrare

tan (2 A) - tan (A) = tan (A) sec (2 A)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

tan (2 A) - tan (A) = tan (A) sec (2 A)

Manipolando il lato sinistro

tan (2 A) - tan (A)

Esprimere con sen e cos

tan (2 A) - tan (A)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} - tan (A)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} - \frac{sin ( A )}{cos ( A )}

Semplifica

\frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} - \frac{sin ( A )}{cos ( A )} : \frac{sin ( 2 A ) cos ( A ) - sin ( A ) cos ( 2 A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

\frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} - \frac{sin ( A )}{cos ( A )}

Minimo Comune Multiplo di

cos (2 A), cos (A) : cos (2 A) cos (A)

cos (2 A), cos (A)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

cos (2 A)

cos (A)

= cos (2 A) cos (A)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

cos (2 A) cos (A)

Per

\frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (A)

\frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} = \frac{sin ( 2 A ) cos ( A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

Per

\frac{sin ( A )}{cos ( A )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (2 A)

\frac{sin ( A )}{cos ( A )} = \frac{sin ( A ) cos ( 2 A )}{cos ( A ) cos ( 2 A )}

= \frac{sin ( 2 A ) cos ( A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )} - \frac{sin ( A ) cos ( 2 A )}{cos ( A ) cos ( 2 A )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 A ) cos ( A ) - sin ( A ) cos ( 2 A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

= \frac{sin ( 2 A ) cos ( A ) - sin ( A ) cos ( 2 A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

= \frac{- cos ( 2 A ) sin ( A ) + cos ( A ) sin ( 2 A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

Riscrivi come

= sin (2 A) cos (A) - cos (2 A) sin (A)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (2 A) cos (A) - cos (2 A) sin (A)

Usa la formula della differenza degli angoli:

sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t) = sin (s - t)

= \frac{sin ( 2 A - A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

Aggiungi elementi simili:

2 A - A = A

= \frac{sin ( A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

= \frac{sin ( A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

Manipolando il lato destro

tan (A) sec (2 A)

Esprimere con sen e cos

sec (2 A) tan (A)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( 2 A )} tan (A)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( 2 A )} \cdot \frac{sin ( A )}{cos ( A )}

Semplifica

\frac{1}{cos ( 2 A )} \cdot \frac{sin ( A )}{cos ( A )} : \frac{sin ( A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

\frac{1}{cos ( 2 A )} \cdot \frac{sin ( A )}{cos ( A )}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

Moltiplicare:

1 \cdot sin (A) = sin (A)

= \frac{sin ( A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

= \frac{sin ( A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

= \frac{sin ( A )}{cos ( 2 A ) cos ( A )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare-2sin(x-y)sin(x+y)=cos(2x)-cos(2y)

p ro v e - 2 sin (x - y) sin (x + y) = cos (2 x) - cos (2 y)

dimostrare (1-sin(x))+(1+sin(x))=2cos(x)

p ro v e (1 - sin (x)) + (1 + sin (x)) = 2 cos (x)

dimostrare 1/(1-sin(β))+1/(1+sin(β))=2sec^2(β)

p ro v e \frac{1}{1 - sin ( β )} + \frac{1}{1 + sin ( β )} = 2 sec^{2} (β)

dimostrare cot^2(A)-cos^2(A)=cot^2(A)cos^2(A)

p ro v e cot^{2} (A) - cos^{2} (A) = cot^{2} (A) cos^{2} (A)

dimostrare cos^2(2t)+sin^2(2t)=1

p ro v e cos^{2} (2 t) + sin^{2} (2 t) = 1