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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+tan^2(x))/(tan(x))=sec(x)csc(x)

Lösung

beweisen

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{tan ( x )} = sec (x) csc (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{tan ( x )} = sec (x) csc (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{tan ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{tan ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2} ) cos ( x )}{sin ( x )}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ( x ) ( \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} + 1 )}{sin ( x )}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos (x) : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{c o s ( x )}}{sin ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{1}{cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{cos ( x ) \frac{1}{c s c ( x )}}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )} \cdot \frac{1}{c s c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )} \cdot \frac{1}{c s c ( x )}}

Multipliziere

\frac{1}{sec ( x )} \cdot \frac{1}{csc ( x )} : \frac{1}{sec ( x ) csc ( x )}

\frac{1}{sec ( x )} \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ( x ) csc ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ( x ) csc ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ( x ) c s c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( x ) csc ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (x) csc (x)

sec (x) csc (x)

sec (x) csc (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (sec^4(α)-1)/(tan^2(α))=sec^2(α)+1

p ro v e \frac{sec ^{4} ( α ) - 1}{tan ^{2} ( α )} = sec^{2} (α) + 1

beweisen 2sin(x)=(4cos(x)-1)/(tan(x))

p ro v e 2 sin (x) = \frac{4 cos ( x ) - 1}{tan ( x )}

beweisen cos(8x)=cos^2(4x)-sin^2(4x)

p ro v e cos (8 x) = cos^{2} (4 x) - sin^{2} (4 x)

beweisen tan(pi/2-x)cot(x)=csc^2(x)-1

p ro v e tan (\frac{π}{2} - x) cot (x) = csc^{2} (x) - 1

beweisen cot^2(α)=cos^2(α)+(cot(α)*cos(α))^2

p ro v e cot^{2} (α) = cos^{2} (α) + (cot (α) \cdot cos (α))^{2}