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Beliebt Trigonometrie >

beweisen cos(θ-60)+cos(θ+60)=cos(θ)

Lösung

beweisen

cos (θ - 6 0^{\circ}) + cos (θ + 6 0^{\circ}) = cos (θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (θ - 6 0^{\circ}) + cos (θ + 6 0^{\circ}) = cos (θ)

Manipuliere die linke Seite

cos (θ - 6 0^{\circ}) + cos (θ + 6 0^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (θ - 6 0^{\circ})

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (θ) cos (6 0^{\circ}) + sin (θ) sin (6 0^{\circ})

Vereinfache

cos (θ) cos (6 0^{\circ}) + sin (θ) sin (6 0^{\circ}) : \frac{1}{2} cos (θ) + \frac{3}{2} sin (θ)

cos (θ) cos (6 0^{\circ}) + sin (θ) sin (6 0^{\circ})

Vereinfache

cos (6 0^{\circ}) : \frac{1}{2}

cos (6 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} cos (θ) + sin (6 0^{\circ}) sin (θ)

Vereinfache

sin (6 0^{\circ}) : \frac{3}{2}

sin (6 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{3}{2}

= \frac{1}{2} cos (θ) + \frac{3}{2} sin (θ)

= \frac{1}{2} cos (θ) + \frac{3}{2} sin (θ)

= \frac{1}{2} cos (θ) + \frac{3}{2} sin (θ) + cos (θ + 6 0^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (θ + 6 0^{\circ})

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (θ) cos (6 0^{\circ}) - sin (θ) sin (6 0^{\circ})

Vereinfache

cos (θ) cos (6 0^{\circ}) - sin (θ) sin (6 0^{\circ}) : \frac{1}{2} cos (θ) - \frac{3}{2} sin (θ)

cos (θ) cos (6 0^{\circ}) - sin (θ) sin (6 0^{\circ})

Vereinfache

cos (6 0^{\circ}) : \frac{1}{2}

cos (6 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} cos (θ) - sin (6 0^{\circ}) sin (θ)

Vereinfache

sin (6 0^{\circ}) : \frac{3}{2}

sin (6 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{3}{2}

= \frac{1}{2} cos (θ) - \frac{3}{2} sin (θ)

= \frac{1}{2} cos (θ) - \frac{3}{2} sin (θ)

= \frac{1}{2} cos (θ) + \frac{3}{2} sin (θ) + \frac{1}{2} cos (θ) - \frac{3}{2} sin (θ)

Vereinfache

\frac{1}{2} cos (θ) + \frac{3}{2} sin (θ) + \frac{1}{2} cos (θ) - \frac{3}{2} sin (θ) : cos (θ)

\frac{1}{2} cos (θ) + \frac{3}{2} sin (θ) + \frac{1}{2} cos (θ) - \frac{3}{2} sin (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= \frac{1}{2} cos (θ) + \frac{1}{2} cos (θ) + \frac{3}{2} sin (θ) - \frac{3}{2} sin (θ)

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{2} cos (θ) + \frac{1}{2} cos (θ) = cos (θ)

\frac{1}{2} cos (θ) + \frac{1}{2} cos (θ)

Klammere gleiche Terme aus

cos (θ)

= cos (θ) (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1}{2}

Fasse zusammen

= 1

= cos (θ)

= cos (θ) + \frac{3}{2} sin (θ) - \frac{3}{2} sin (θ)

Addiere gleiche Elemente:

\frac{3}{2} sin (θ) - \frac{3}{2} sin (θ) = 0

\frac{3}{2} sin (θ) - \frac{3}{2} sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= sin (θ) (\frac{3}{2} - \frac{3}{2})

\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0

\frac{3}{2} - \frac{3}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 3}{2}

Faktorisiere

3 - 3 : 0

3 - 3

Klammere gleiche Terme aus

3

= 3 (1 - 1)

Fasse zusammen

= 0

= \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

= 0

= cos (θ)

= cos (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen tan(2A)=(2tan(A))/(1-tan^2(A))

p ro v e tan (2 A) = \frac{2 tan ( A )}{1 - tan ^{2} ( A )}

beweisen sin(x)tan(x)sec(x)=sec^2(x)-1

p ro v e sin (x) tan (x) sec (x) = sec^{2} (x) - 1

beweisen tan^4(k)-sec^4(k)=1-2sec^2(k)

p ro v e tan^{4} (k) - sec^{4} (k) = 1 - 2 sec^{2} (k)

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beweisen sin(pi)=sin(-pi)

p ro v e sin (π) = sin (- π)