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Popular Trigonometria >

provar 1-tan^2(x/2)=(2cos(x))/(1+cos(x))

Solução

provar

1 - tan^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 cos ( x )}{1 + cos ( x )}

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

1 - tan^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 cos ( x )}{1 + cos ( x )}

Sea:

u = \frac{x}{2}

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Provar

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} :

Verdadeiro

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Manipular o lado direito

1 - tan^{2} (u)

Expresar com seno, cosseno

1 - tan^{2} (u)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}

Simplificar

1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 - \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} - \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Multiplicar:

1 \cdot cos^{2} (u) = cos^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( u ) - ( 1 - cos ^{2} ( u ) )}{cos ^{2} ( u )}

Expandir

cos^{2} (u) - (1 - cos^{2} (u)) : 2 cos^{2} (u) - 1

cos^{2} (u) - (1 - cos^{2} (u))

- (1 - cos^{2} (u)) : - 1 + cos^{2} (u)

- (1 - cos^{2} (u))

Colocar os parênteses

= - (1) - (- cos^{2} (u))

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (u)

= cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u)

Simplificar

cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u) : 2 cos^{2} (u) - 1

cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u)

Agrupar termos semelhantes

= cos^{2} (u) + cos^{2} (u) - 1

Somar elementos similares:

cos^{2} (u) + cos^{2} (u) = 2 cos^{2} (u)

= 2 cos^{2} (u) - 1

= 2 cos^{2} (u) - 1

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

Manipular o lado esquerdo

\frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}

Simplificar

\frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1} : \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

\frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{2 cos ^{2} ( u )}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Portanto

1 - tan^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 cos ( x )}{1 + cos ( x )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar (cos(3x))/(cos(x))=4cos^2(x)-3

p ro v e \frac{cos ( 3 x )}{cos ( x )} = 4 cos^{2} (x) - 3

provar sin(arcsin(x)+arccos(x))=1

p ro v e sin (arcsin (x) + arccos (x)) = 1

provar sin(16x)=2sin(8x)cos(8x)

p ro v e sin (16 x) = 2 sin (8 x) cos (8 x)

provar sin(pi/2-x)sec(x)=1

p ro v e sin (\frac{π}{2} - x) sec (x) = 1

provar (sin(θ))/(1-cos^2(θ))=csc(θ)

p ro v e \frac{sin ( θ )}{1 - cos ^{2} ( θ )} = csc (θ)