English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến Lượng giác >

chứng minh 1/(1-tan^2(θ))+1/(1-cot^2(θ))=1

Lời Giải

chứng minh

\frac{1}{1 - tan ^{2} ( θ )} + \frac{1}{1 - cot ^{2} ( θ )} = 1

Lời Giải

Đ \overset{u}{ˊ} ng

Các bước giải pháp

\frac{1}{1 - tan ^{2} ( θ )} + \frac{1}{1 - cot ^{2} ( θ )} = 1

Thao tác bên trái

\frac{1}{1 - tan ^{2} ( θ )} + \frac{1}{1 - cot ^{2} ( θ )}

Biểu diễn dưới dạng sin, cos

\frac{1}{1 - cot ^{2} ( θ )} + \frac{1}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}} + \frac{1}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}} + \frac{1}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

\frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}} + \frac{1}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}} = 1

\frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}} + \frac{1}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

\frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}

\frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}

Áp dụng quy tắc số mũ:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1}{1 - \frac{c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )}}

Hợp

1 - \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} : \frac{sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 - \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Chuyển phần tử thành phân số:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} - \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Nhân:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{s i n ^{2} ( θ ) - c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )}}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}

\frac{1}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

\frac{1}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Áp dụng quy tắc số mũ:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1}{1 - \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Hợp

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Chuyển phần tử thành phân số:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Nhân:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{c o s ^{2} ( θ ) - s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

Hệ số

sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ) : (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ)

Áp Dụng Công Thức Hiệu của Các Bình Phương:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ) = (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

= (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

Hệ số

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) : (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

Áp Dụng Công Thức Hiệu của Các Bình Phương:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

= (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}

Bội Số Chung Nhỏ Nhất của

(sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ)), (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ)) : - (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

(sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ)), (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

Bội Số Chung Nhỏ Nhất (LCM)

cos (θ) - sin (θ) = - (sin (θ) - cos (θ))

= (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ)), - (cos (θ) + sin (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

Tính một biểu thức bao gồm các thừa số xuất hiện trong

(sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

hoặc

(cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

= - (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

Điều chỉnh phân số dựa trên LCM

Nhân mỗi tử số với cùng một lượng cần thiết để nhân nó

mẫu số tương ứng để biến nó thành LCM

- (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

Đối với

\frac{sin ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )} :

nhân mẫu số và tử số với

- 1

\frac{sin ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )} = \frac{sin ^{2} ( θ ) ( - 1 )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) ) ( - 1 )} = \frac{- sin ^{2} ( θ )}{- ( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

= \frac{- sin ^{2} ( θ )}{- ( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{- ( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{- ( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

Triệt tiêu

\frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )} : - 1

\frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

Áp Dụng Công Thức Hiệu của Các Bình Phương:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

= \frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

Triệt tiêu

\frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )} : - 1

\frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

sin (θ) - cos (θ) = - (cos (θ) - sin (θ))

= \frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{- ( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}

Tinh chỉnh

= - \frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}

Triệt tiêu thừa số chung:

cos (θ) + sin (θ)

= - \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) - sin ( θ )}

Triệt tiêu thừa số chung:

cos (θ) - sin (θ)

= - 1

= - 1

= - (- 1)

Áp dụng quy tắc

- (- a) = a

= 1

= 1

= 1

Chúng tôi đã cho thấy rằng hai bên có thể có cùng một dạng

\Rightarrow Đ \overset{u}{ˊ} ng

Ví dụ phổ biến

chứng minh (sec^2(x)-6tan(x)+7)/(sec^2(x)-5)=(tan(x)-4)/(tan(x)+2)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 7}{sec ^{2} ( x ) - 5} = \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

chứng minh 1-cos(x)=2sin^2(x/2)

p ro v e 1 - cos (x) = 2 sin^{2} (\frac{x}{2})

chứng minh cos(3A)=4cos^3(A)-3cos(A)

p ro v e cos (3 A) = 4 cos^{3} (A) - 3 cos (A)

chứng minh cos(3θ)=cos^3(θ)-3sin^2(θ)cos(θ)

p ro v e cos (3 θ) = cos^{3} (θ) - 3 sin^{2} (θ) cos (θ)

chứng minh cos^2(B)-sin^2(B)=2cos^2(B)-1

p ro v e cos^{2} (B) - sin^{2} (B) = 2 cos^{2} (B) - 1