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Popolare Trigonometria >

dimostrare (sec^2(x)-6tan(x)+7)/(sec^2(x)-5)=(tan(x)-4)/(tan(x)+2)

Soluzione

dimostrare

\frac{sec ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 7}{sec ^{2} ( x ) - 5} = \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

\frac{sec ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 7}{sec ^{2} ( x ) - 5} = \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

Manipolando il lato sinistro

\frac{sec ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 7}{sec ^{2} ( x ) - 5}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{sec ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 7}{sec ^{2} ( x ) - 5}

Usa l'identità pitagorica:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= \frac{tan ^{2} ( x ) + 1 - 6 tan ( x ) + 7}{tan ^{2} ( x ) + 1 - 5}

Semplifica

\frac{tan ^{2} ( x ) + 1 - 6 tan ( x ) + 7}{tan ^{2} ( x ) + 1 - 5} : \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

\frac{tan ^{2} ( x ) + 1 - 6 tan ( x ) + 7}{tan ^{2} ( x ) + 1 - 5}

tan^{2} (x) + 1 - 6 tan (x) + 7 = tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 8

tan^{2} (x) + 1 - 6 tan (x) + 7

Raggruppa termini simili

= tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 1 + 7

Aggiungi i numeri:

1 + 7 = 8

= tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 8

= \frac{tan ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 8}{tan ^{2} ( x ) + 1 - 5}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

1 - 5 = - 4

= \frac{tan ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 8}{tan ^{2} ( x ) - 4}

Fattorizza

tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 8 : (tan (x) - 2) (tan (x) - 4)

tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 8

Suddividere l'espressione in gruppi

tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 8

Definizione

Fattori di

8 : 1, 2, 4, 8

8

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

8 : 2, 2, 2

8

8

diviso per

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

è un numero primo, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2

Moltiplica i fattori primi di

8 : 4

2 \cdot 2 = 4

4

4

Aggiungi i fattori primi:

2

Aggiungi 1 al numero

8

stesso

1, 8

I fattori di

8

1, 2, 4, 8

Fattori negativi di

8 : - 1, - 2, - 4, - 8

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 4, - 8

Per ogni due fattori tali che

u * v = 8,

controllare se

u + v = - 6

Verifica

u = 1, v = 8 : u * v = 8, u + v = 9 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = 4 : u * v = 8, u + v = 6 \Rightarrow

Falso

u = - 2, v = - 4

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(tan^{2} (x) - 2 tan (x)) + (- 4 tan (x) + 8)

= (tan^{2} (x) - 2 tan (x)) + (- 4 tan (x) + 8)

Fattorizza

tan (x)

tan^{2} (x) - 2 tan (x) : tan (x) (tan (x) - 2)

tan^{2} (x) - 2 tan (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

tan^{2} (x) = tan (x) tan (x)

= tan (x) tan (x) - 2 tan (x)

Fattorizzare dal termine comune

tan (x)

= tan (x) (tan (x) - 2)

Fattorizza

- 4

- 4 tan (x) + 8 : - 4 (tan (x) - 2)

- 4 tan (x) + 8

Riscrivi

8

come

4 \cdot 2

= - 4 tan (x) + 4 \cdot 2

Fattorizzare dal termine comune

- 4

= - 4 (tan (x) - 2)

= tan (x) (tan (x) - 2) - 4 (tan (x) - 2)

Fattorizzare dal termine comune

tan (x) - 2

= (tan (x) - 2) (tan (x) - 4)

= \frac{( tan ( x ) - 2 ) ( tan ( x ) - 4 )}{tan ^{2} ( x ) - 4}

Fattorizza

tan^{2} (x) - 4 : (tan (x) + 2) (tan (x) - 2)

tan^{2} (x) - 4

Riscrivi

4

come

2^{2}

= tan^{2} (x) - 2^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

tan^{2} (x) - 2^{2} = (tan (x) + 2) (tan (x) - 2)

= (tan (x) + 2) (tan (x) - 2)

= \frac{( tan ( x ) - 2 ) ( tan ( x ) - 4 )}{( tan ( x ) + 2 ) ( tan ( x ) - 2 )}

Cancella il fattore comune:

tan (x) - 2

= \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

= \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

= \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare 1-cos(x)=2sin^2(x/2)

p ro v e 1 - cos (x) = 2 sin^{2} (\frac{x}{2})

dimostrare cos(3A)=4cos^3(A)-3cos(A)

p ro v e cos (3 A) = 4 cos^{3} (A) - 3 cos (A)

dimostrare cos(3θ)=cos^3(θ)-3sin^2(θ)cos(θ)

p ro v e cos (3 θ) = cos^{3} (θ) - 3 sin^{2} (θ) cos (θ)

dimostrare cos^2(B)-sin^2(B)=2cos^2(B)-1

p ro v e cos^{2} (B) - sin^{2} (B) = 2 cos^{2} (B) - 1

dimostrare csc^2(x)cos^2(x)= 1/(tan^2(x))

p ro v e csc^{2} (x) cos^{2} (x) = \frac{1}{tan ^{2} ( x )}