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beweisen sec^2(θ)cot^2(θ)-1=cot^2(θ)

Lösung

beweisen

sec^{2} (θ) cot^{2} (θ) - 1 = cot^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

sec^{2} (θ) cot^{2} (θ) - 1 = cot^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

sec^{2} (θ) cot^{2} (θ) - 1

Drücke mit sin, cos aus

- 1 + cot^{2} (θ) sec^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - 1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} sec^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Vereinfache

- 1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} : \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )}

- 1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) \cdot 1}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= - 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Manipuliere die rechte Seite

cot^{2} (θ)

Drücke mit sin, cos aus

cot^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

Vereinfache

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (2 A) = 2 cos^{2} (A) - 1

p ro v e 2 sin^{2} (3 x) = 1 - cos (6 x)

p ro v e cos (\frac{π}{2} + y) = - sin (y)

p ro v e cos (3 x) - cos (x) = 4 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

p ro v e tan (8 x) - tan (8 x) tan^{2} (4 x) = 2 tan (4 x)