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beweisen tan(8x)-tan(8x)tan^2(4x)=2tan(4x)

Lösung

beweisen

tan (8 x) - tan (8 x) tan^{2} (4 x) = 2 tan (4 x)

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (8 x) - tan (8 x) tan^{2} (4 x) = 2 tan (4 x)

Manipuliere die linke Seite

tan (8 x) - tan (8 x) tan^{2} (4 x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (8 x) - tan (8 x) tan^{2} (4 x)

= tan (2 \cdot 4 x) - tan (2 \cdot 4 x) tan^{2} (4 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} - \frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} tan^{2} (4 x)

Vereinfache

\frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} - \frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} tan^{2} (4 x) : 2 tan (4 x)

\frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} - \frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} tan^{2} (4 x)

\frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} tan^{2} (4 x) = \frac{2 tan ^{3} ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )}

\frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} tan^{2} (4 x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 tan ( 4 x ) tan ^{2} ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )}

2 tan (4 x) tan^{2} (4 x) = 2 tan^{3} (4 x)

2 tan (4 x) tan^{2} (4 x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (4 x) tan^{2} (4 x) = tan^{1 + 2} (4 x)

= 2 tan^{1 + 2} (4 x)

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= 2 tan^{3} (4 x)

= \frac{2 tan ^{3} ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )}

= \frac{2 tan ( 4 x )}{- tan ^{2} ( 4 x ) + 1} - \frac{2 tan ^{3} ( 4 x )}{- tan ^{2} ( 4 x ) + 1}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( 4 x ) - 2 tan ^{3} ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )}

Faktorisiere

2 tan (4 x) - 2 tan^{3} (4 x) : 2 tan (4 x) (1 - tan^{2} (4 x))

2 tan (4 x) - 2 tan^{3} (4 x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

tan^{3} (4 x) = tan (4 x) tan^{2} (4 x)

= 2 tan (4 x) - 2 tan (4 x) tan^{2} (4 x)

Schreibe um

= 1 \cdot 2 tan (4 x) - 2 tan (4 x) tan^{2} (4 x)

Klammere gleiche Terme aus

2 tan (4 x)

= 2 tan (4 x) (1 - tan^{2} (4 x))

= \frac{2 tan ( 4 x ) ( 1 - tan ^{2} ( 4 x ) )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 - tan^{2} (4 x)

= 2 tan (4 x)

= 2 tan (4 x)

= 2 tan (4 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) + 1} = 1 - cos (x)

p ro v e cot (2 u) = \frac{cot ^{2} ( u ) - 1}{2 cot ( u )}

p ro v e \frac{sin ( 2 x )}{2} = sin (x) cos (x)

p ro v e sin^{2} (z) + cos^{2} (z) = 1

p ro v e 1 - cot (x) = csc^{2} (x) - 2 cot (x)