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Popular Trigonometria >

provar cos^2(θ/2)=(sec(θ)+1)/(2sec(θ))

Solução

provar

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

Sea:

u = \frac{θ}{2}

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

Provar

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )} :

Verdadeiro

cos^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

Manipular o lado esquerdo

\frac{sec ( 2 u ) + 1}{2 sec ( 2 u )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{1 + sec ( 2 u )}{2 sec ( 2 u )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Simplificar

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}} : \frac{cos ( 2 u ) + 1}{2}

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Multiplicar

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )} : \frac{2}{cos ( 2 u )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 u )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( 2 u )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

Simplificar

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

em uma fração:

\frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u)

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{\frac{c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) cos ( 2 u )}{cos ( 2 u ) \cdot 2}

Eliminar o fator comum:

cos (2 u)

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{2}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{1 + cos ( 2 u )}{2}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2}

Simplificar

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2} : cos^{2} (u)

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{2}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Portanto

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar cos^2(x)=(cos(x))^2

p ro v e cos^{2} (x) = (cos (x))^{2}

provar 2cos^2(θ)tan(θ)=sin(2θ)

p ro v e 2 cos^{2} (θ) tan (θ) = sin (2 θ)

provar sin^5(x)=(1-cos^2(x))^2sin(x)

p ro v e sin^{5} (x) = (1 - cos^{2} (x))^{2} sin (x)

provar cos((3pi)/2-x)=-sin(x)

p ro v e cos (\frac{3 π}{2} - x) = - sin (x)

provar cot(t)+(sin(t))/(1+cos(t))=csc(t)

p ro v e cot (t) + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )} = csc (t)