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人気のある三角関数 >

証明する cot(t)+(sin(t))/(1+cos(t))=csc(t)

解

証明する

cot (t) + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )} = csc (t)

解

真

解答ステップ

cot (t) + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )} = csc (t)

左側を操作する

cot (t) + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )}

サイン, コサインで表わす

cot (t) + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )}

簡素化

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )} : \frac{cos ( t ) ( cos ( t ) + 1 ) + sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) ( cos ( t ) + 1 )}

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )}

以下の最小公倍数:

sin (t), 1 + cos (t) : sin (t) (cos (t) + 1)

sin (t), 1 + cos (t)

最小公倍数 (LCM)

sin (t)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

1 + cos (t)

= sin (t) (cos (t) + 1)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

sin (t) (cos (t) + 1)

\frac{cos ( t )}{sin ( t )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos (t) + 1

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} = \frac{cos ( t ) ( cos ( t ) + 1 )}{sin ( t ) ( cos ( t ) + 1 )}

\frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

sin (t)

\frac{sin ( t )}{1 + cos ( t )} = \frac{sin ( t ) sin ( t )}{( 1 + cos ( t ) ) sin ( t )} = \frac{sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) ( cos ( t ) + 1 )}

= \frac{cos ( t ) ( cos ( t ) + 1 )}{sin ( t ) ( cos ( t ) + 1 )} + \frac{sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) ( cos ( t ) + 1 )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( t ) ( cos ( t ) + 1 ) + sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) ( cos ( t ) + 1 )}

= \frac{cos ( t ) ( cos ( t ) + 1 ) + sin ^{2} ( t )}{sin ( t ) ( cos ( t ) + 1 )}

= \frac{sin ^{2} ( t ) + ( 1 + cos ( t ) ) cos ( t )}{( 1 + cos ( t ) ) sin ( t )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{sin ^{2} ( t ) + ( 1 + cos ( t ) ) cos ( t )}{( 1 + cos ( t ) ) sin ( t )}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( t ) + ( 1 + cos ( t ) ) cos ( t )}{( 1 + cos ( t ) ) sin ( t )}

簡素化

\frac{1 - cos ^{2} ( t ) + ( 1 + cos ( t ) ) cos ( t )}{( 1 + cos ( t ) ) sin ( t )} : \frac{1}{sin ( t )}

\frac{1 - cos ^{2} ( t ) + ( 1 + cos ( t ) ) cos ( t )}{( 1 + cos ( t ) ) sin ( t )}

拡張

1 - cos^{2} (t) + (1 + cos (t)) cos (t) : cos (t) + 1

1 - cos^{2} (t) + (1 + cos (t)) cos (t)

= 1 - cos^{2} (t) + cos (t) (1 + cos (t))

拡張

cos (t) (1 + cos (t)) : cos (t) + cos^{2} (t)

cos (t) (1 + cos (t))

分配法則を適用する:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (t), b = 1, c = cos (t)

= cos (t) \cdot 1 + cos (t) cos (t)

= 1 \cdot cos (t) + cos (t) cos (t)

簡素化

1 \cdot cos (t) + cos (t) cos (t) : cos (t) + cos^{2} (t)

1 \cdot cos (t) + cos (t) cos (t)

1 \cdot cos (t) = cos (t)

1 \cdot cos (t)

乗算:

1 \cdot cos (t) = cos (t)

= cos (t)

cos (t) cos (t) = cos^{2} (t)

cos (t) cos (t)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (t) cos (t) = cos^{1 + 1} (t)

= cos^{1 + 1} (t)

数を足す:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (t)

= cos (t) + cos^{2} (t)

= cos (t) + cos^{2} (t)

= 1 - cos^{2} (t) + cos (t) + cos^{2} (t)

簡素化

1 - cos^{2} (t) + cos (t) + cos^{2} (t) : cos (t) + 1

1 - cos^{2} (t) + cos (t) + cos^{2} (t)

条件のようなグループ

= - cos^{2} (t) + cos (t) + cos^{2} (t) + 1

類似した元を足す:

- cos^{2} (t) + cos^{2} (t) = 0

= cos (t) + 1

= cos (t) + 1

= \frac{cos ( t ) + 1}{sin ( t ) ( cos ( t ) + 1 )}

共通因数を約分する:

cos (t) + 1

= \frac{1}{sin ( t )}

= \frac{1}{sin ( t )}

= \frac{1}{sin ( t )}

三角関数の公式を使用して書き換える

基本的な三角関数の公式を使用する:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( t )}}

簡素化

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( t )}}

分数の規則を適用する:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( t )}{1}

規則を適用

\frac{a}{1} = a

= csc (t)

csc (t)

csc (t)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する csc^2(x)*tan^2(x)-1=tan^2(x)

p ro v e csc^{2} (x) \cdot tan^{2} (x) - 1 = tan^{2} (x)

証明する sec^2(x)-cot^2(pi/2-x)=1

p ro v e sec^{2} (x) - cot^{2} (\frac{π}{2} - x) = 1

証明する sin(2x)=-2sin(-x)cos(-x)

p ro v e sin (2 x) = - 2 sin (- x) cos (- x)

証明する sin(θ)csc(θ)-sin^2(θ)=cos^2(θ)

p ro v e sin (θ) csc (θ) - sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

証明する cos^2(x)csc(x)sec(x)=cot(x)

p ro v e cos^{2} (x) csc (x) sec (x) = cot (x)