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Beliebt Trigonometrie >

beweisen-tan(t)+(cos(t))/(1-sin(t))=sec(t)

Lösung

beweisen

- tan (t) + \frac{cos ( t )}{1 - sin ( t )} = sec (t)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

- tan (t) + \frac{cos ( t )}{1 - sin ( t )} = sec (t)

Manipuliere die linke Seite

- tan (t) + \frac{cos ( t )}{1 - sin ( t )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cos ( t )}{1 - sin ( t )} - tan (t)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( t )}{1 - sin ( t )} - \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

Vereinfache

\frac{cos ( t )}{1 - sin ( t )} - \frac{sin ( t )}{cos ( t )} : \frac{cos ^{2} ( t ) - sin ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}{cos ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}

\frac{cos ( t )}{1 - sin ( t )} - \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1 - sin (t), cos (t) : cos (t) (- sin (t) + 1)

1 - sin (t), cos (t)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

1 - sin (t)

oder

cos (t)

auftauchen.

= cos (t) (- sin (t) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

cos (t) (- sin (t) + 1)

Für

\frac{cos ( t )}{1 - sin ( t )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (t)

\frac{cos ( t )}{1 - sin ( t )} = \frac{cos ( t ) cos ( t )}{( 1 - sin ( t ) ) cos ( t )} = \frac{cos ^{2} ( t )}{cos ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}

Für

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- sin (t) + 1

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} = \frac{sin ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}{cos ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( t )}{cos ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )} - \frac{sin ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}{cos ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( t ) - sin ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}{cos ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( t ) - sin ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}{cos ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( t ) - ( 1 - sin ( t ) ) sin ( t )}{( 1 - sin ( t ) ) cos ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( t ) - ( 1 - sin ( t ) ) sin ( t )}{( 1 - sin ( t ) ) cos ( t )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( t ) - ( 1 - sin ( t ) ) sin ( t )}{( 1 - sin ( t ) ) cos ( t )}

Vereinfache

\frac{1 - sin ^{2} ( t ) - ( 1 - sin ( t ) ) sin ( t )}{( 1 - sin ( t ) ) cos ( t )} : \frac{1}{cos ( t )}

\frac{1 - sin ^{2} ( t ) - ( 1 - sin ( t ) ) sin ( t )}{( 1 - sin ( t ) ) cos ( t )}

Multipliziere aus

1 - sin^{2} (t) - (1 - sin (t)) sin (t) : - sin (t) + 1

1 - sin^{2} (t) - (1 - sin (t)) sin (t)

= 1 - sin^{2} (t) - sin (t) (1 - sin (t))

Multipliziere aus

- sin (t) (1 - sin (t)) : - sin (t) + sin^{2} (t)

- sin (t) (1 - sin (t))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - sin (t), b = 1, c = sin (t)

= - sin (t) \cdot 1 - (- sin (t)) sin (t)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 1 \cdot sin (t) + sin (t) sin (t)

Vereinfache

- 1 \cdot sin (t) + sin (t) sin (t) : - sin (t) + sin^{2} (t)

- 1 \cdot sin (t) + sin (t) sin (t)

1 \cdot sin (t) = sin (t)

1 \cdot sin (t)

Multipliziere:

1 \cdot sin (t) = sin (t)

= sin (t)

sin (t) sin (t) = sin^{2} (t)

sin (t) sin (t)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (t) sin (t) = sin^{1 + 1} (t)

= sin^{1 + 1} (t)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (t)

= - sin (t) + sin^{2} (t)

= - sin (t) + sin^{2} (t)

= 1 - sin^{2} (t) - sin (t) + sin^{2} (t)

Vereinfache

1 - sin^{2} (t) - sin (t) + sin^{2} (t) : - sin (t) + 1

1 - sin^{2} (t) - sin (t) + sin^{2} (t)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin^{2} (t) - sin (t) + sin^{2} (t) + 1

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (t) + sin^{2} (t) = 0

= - sin (t) + 1

= - sin (t) + 1

= \frac{- sin ( t ) + 1}{cos ( t ) ( - sin ( t ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- sin (t) + 1

= \frac{1}{cos ( t )}

= \frac{1}{cos ( t )}

= \frac{1}{cos ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( t )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( t )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( t )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (t)

sec (t)

sec (t)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(x)=sin(pi/2-x)

p ro v e cos (x) = sin (\frac{π}{2} - x)

beweisen cos(x)=sin(x)cot(x)

p ro v e cos (x) = sin (x) cot (x)

beweisen cos^2(θ/2)=(sec(θ)+1)/(2sec(θ))

p ro v e cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) + 1}{2 sec ( θ )}

beweisen cos^2(x)=(cos(x))^2

p ro v e cos^{2} (x) = (cos (x))^{2}

beweisen 2cos^2(θ)tan(θ)=sin(2θ)

p ro v e 2 cos^{2} (θ) tan (θ) = sin (2 θ)