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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sec(x)-(cos(x))/(1+sin(x))=tan(x)

Lösung

beweisen

sec (x) - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} = tan (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (x) - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} = tan (x)

Manipuliere die linke Seite

sec (x) - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

- \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + sec (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Vereinfache

- \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

- \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1 + sin (x), cos (x) : cos (x) (sin (x) + 1)

1 + sin (x), cos (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

1 + sin (x)

oder

cos (x)

auftauchen.

= cos (x) (sin (x) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

cos (x) (sin (x) + 1)

Für

\frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (x)

\frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

Für

\frac{1}{cos ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (x) + 1

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot ( sin ( x ) + 1 )}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )} = \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

= - \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )} : \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Faktorisiere

sin^{2} (x) + sin (x) : sin (x) (sin (x) + 1)

sin^{2} (x) + sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= sin (x) sin (x) + sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= sin (x) (sin (x) + 1)

= \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x) + 1

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin(θ)(csc(θ)-sin(θ))=cos^2(θ)

p ro v e sin (θ) (csc (θ) - sin (θ)) = cos^{2} (θ)

beweisen sec(y)cos(y)=1

p ro v e sec (y) cos (y) = 1

beweisen csc(x)-sin(x)=cos(x)*cot(x)

p ro v e csc (x) - sin (x) = cos (x) \cdot cot (x)

beweisen (sec^2(θ))/(tan(θ))=sec(θ)csc(θ)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( θ )}{tan ( θ )} = sec (θ) csc (θ)

beweisen cos(x)+tan(x)sin(x)=sec(x)

p ro v e cos (x) + tan (x) sin (x) = sec (x)