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beweisen 1/(cot(x)(1-cos(2x)))=csc(2x)

Lösung

beweisen

\frac{1}{cot ( x ) ( 1 - cos ( 2 x ) )} = csc (2 x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{cot ( x ) ( 1 - cos ( 2 x ) )} = csc (2 x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1}{cot ( x ) ( 1 - cos ( 2 x ) )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{cot ( x ) ( 1 - cos ( 2 x ) )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1}{cot ( x ) ( 1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) ) )}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x)

1 - (1 - 2 sin^{2} (x))

- (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (x)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x)

= \frac{1}{2 sin ^{2} ( x ) cot ( x )}

= \frac{1}{2 sin ^{2} ( x ) cot ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{2 cot ( x ) sin ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} sin ^{2} ( x )}

Vereinfache

\frac{1}{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} sin ^{2} ( x )} : \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}

\frac{1}{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} sin ^{2} ( x )}

Multipliziere

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} sin^{2} (x) : 2 cos (x) sin (x)

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} sin^{2} (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

= \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{1}{sin ( 2 x )}

= \frac{1}{sin ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( 2 x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( 2 x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( 2 x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (2 x)

csc (2 x)

csc (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (tan (θ) + cot (θ)) cos (θ) = csc (θ)

p ro v e cos^{4} (t) - sin^{4} (t) = 1 - 2 sin^{2} (t)

p ro v e 1 + tan^{2} (- θ) = sec^{2} (θ)

p ro v e \frac{tan ( x ) + tan ( y )}{cot ( x ) + cot ( y )} = tan (x) tan (y)

p ro v e \frac{cos ( \frac{π}{2} + x )}{cos ( π + x )} = tan (x)