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integral of e^{at}sin(t)

Lösung

\int e^{a t} sin (t) d t

Lösung

- \frac{e ^{a t} cos ( t )}{1 + a ^{2}} + \frac{a e ^{a t} sin ( t )}{1 + a ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{a t} sin (t) d t

Wende die partielle Integration an

= - e^{a t} cos (t) - \int - a e^{a t} cos (t) d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{a t} cos (t) - (- a \cdot \int e^{a t} cos (t) d t)

Wende die partielle Integration an

= - e^{a t} cos (t) - (- a (e^{a t} sin (t) - \int e^{a t} a sin (t) d t))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{a t} cos (t) - (- a (e^{a t} sin (t) - a \cdot \int e^{a t} sin (t) d t))

Deshalb

\int e^{a t} sin (t) d t = - e^{a t} cos (t) - (- a (e^{a t} sin (t) - a \cdot \int e^{a t} sin (t) d t))

Isoliere

\int e^{a t} sin (t) d t

= - \frac{e ^{a t} cos ( t )}{1 + a ^{2}} + \frac{a e ^{a t} sin ( t )}{1 + a ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{e ^{a t} cos ( t )}{1 + a ^{2}} + \frac{a e ^{a t} sin ( t )}{1 + a ^{2}} + C

Graph

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